BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — SESSION 2022

Exercice 1 — Fonction et intégration (5 points)

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0;+\infty [$ par :

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$. Interpréter graphiquement le résultat.
2. 1. Montrer que pour tout $x\in [0;+\infty [$, $f^{\prime }(x)=-x{\mathrm{e}}^{-x}$.
   2. En déduire le sens de variation de $f$ sur $[0;+\infty [$ et dresser son tableau de variations.
3. On considère la fonction $F$ définie sur $[0;+\infty [$ par $F(x)=-(x+2){\mathrm{e}}^{-x}$.
   1. Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $[0;+\infty [$.
   2. En déduire la valeur exacte de l'intégrale $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$.
4. On souhaite retrouver le résultat de la question 3.b. par une intégration par parties.
   1. À l'aide d'une intégration par parties, calculer $\underset{0}{\overset{1}{\int }}(x+1){\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x$ et vérifier que l'on obtient la même valeur.
   2. Interpréter graphiquement le nombre $I$, puis en donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près.

Exercice 2 — Suites (5 points)

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=5$ et, pour tout entier naturel $n$ :

1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
2. On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n=u_n-15$.
   1. Montrer que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $0,8$. Préciser son premier terme $v_0$.
   2. En déduire que pour tout entier naturel $n$, $u_n=-10\times 0,8^n+15$.
3. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$. Justifier.
4. 1. Démontrer que la suite $(u_n)$ est strictement croissante.
   2. Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous écrit en langage Python afin qu'il renvoie le plus petit entier $n$ tel que $u_n⩾14,9$.

      def seuil():     u = 5     n = 0     while ............ :         u = ............         n = n + 1     return n

   3. Résoudre par le calcul l'inéquation $u_n⩾14,9$ et donner la valeur renvoyée par l'algorithme.

Exercice 3 — Probabilités (5 points)

Une grande chaîne de magasins équipe ses caisses d'un terminal de paiement. On admet que, lors d'un passage en caisse, la probabilité qu'un client paie par carte bancaire est égale à $0,7$. On considère un échantillon de $20$ clients passant en caisse de façon indépendante les uns des autres.

On note $X$ la variable aléatoire qui, à un échantillon de $20$ clients, associe le nombre de clients ayant payé par carte bancaire.

1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
2. Calculer la probabilité $P(X=15)$. On donnera le résultat arrondi à $10^{-3}$.
3. Calculer la probabilité qu'au moins $15$ clients aient payé par carte bancaire. On donnera le résultat arrondi à $10^{-3}$.
4. Déterminer l'espérance $E(X)$ et l'écart-type $\sigma (X)$ de la variable aléatoire $X$. Interpréter l'espérance dans le contexte.
5. Le directeur affirme : « En moyenne, sur un échantillon de $20$ clients, plus de la moitié paie par carte. » Cette affirmation est-elle cohérente avec l'espérance calculée ?
6. On considère désormais un échantillon de $n$ clients ($n⩾1$). On note $Y$ la variable aléatoire donnant le nombre de clients payant par carte. Déterminer le plus petit entier $n$ tel que la probabilité qu'au moins un client paie par carte soit supérieure ou égale à $0,999$.

Exercice 4 — Géométrie dans l'espace (5 points)

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{ı},\vec{ȷ},\vec{k})$. On considère les points :

1. 1. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
   2. Justifier que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
2. 1. Montrer que le vecteur $\vec{n}(1;0;1)$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
   2. En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est $x+z-3=0$.
3. On considère la droite $\Delta$ passant par $D$ et de vecteur directeur $\vec{n}$.
   1. Donner une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.
   2. Déterminer les coordonnées du point $H$, intersection de la droite $\Delta$ et du plan $(ABC)$. Le point $H$ est le projeté orthogonal de $D$ sur le plan $(ABC)$.
4. Calculer la distance du point $D$ au plan $(ABC)$, c'est-à-dire la longueur $DH$.
5. En déduire le volume du tétraèdre $ABCD$, sachant que l'aire du triangle $ABC$ est égale à $2\sqrt{2}$. On rappelle que le volume d'un tétraèdre est $V=\frac{1}{3}\times {\mathcal{A}}_{\text{base}}\times h$.