Partie A — Étude analytique

1. Calculer les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$.

2. Montrer que $f^{\prime }(x)=(3-2x)e^{-x}$.

3. Tableau de variations complet. Valeur exacte à l'extremum.

4. Montrer que $f(x)=0$ admet exactement une solution et la déterminer.

5. Équation de la tangente en $x=1$.

Partie B — Calcul intégral

6. Calculer $I=\underset{0}{\overset{2}{\int }}f(x)dx$ par intégration par parties.

7. Interpréter géométriquement : calculer l'aire de la région délimitée par $f$, l'axe des abscisses, $x=0$ et $x=2$.

Partie A — Loi binomiale

1. $X$ = nb de défectueux dans un lot de 20. Justifier $X\sim \mathcal{B}(20;0,08)$.

2. $E(X)$ et $\sigma (X)$. Interpréter.

3. $P(X=0)$ et $P(X\le 2)$.

4. $P(X\ge 1)$.

Partie B — Taille du lot et approximation

5. Plus petite valeur de $n$ telle que $P(extaucund\acute{e}fectueux)<0,01$. (\ln(0{,}92) pprox -0{,}0834)

6. Lot de 150 composants, $Y$ = nb défectueux.

6a. Conditions d'approximation normale. Vérifier.

6b. Paramètres $\mu$ et $\sigma$.

6c. Calculer $P(Y\le 18)$ et $P(8\le Y\le 18)$.

Partie A — Étude préliminaire

1. Calculer $u_1$ et $u_2$.

2. Montrer que g(x) = rac{x}{2}+rac{2}{x} \geq 2 pour $x>0$.

3. En déduire $u_n\ge 2$ pour $n\ge 1$.

Partie B — Monotonie et convergence

4. Montrer que $u_{n+1}-u_n=\frac{4-u_n^2}{2u_n}$.

5. En déduire que $(u_n{)}_{n\ge 1}$ est décroissante.

6. Montrer la convergence (suite monotone bornée).

7. Déterminer la limite $\ell$.

Partie C — Suite auxiliaire

8a. Poser $v_n=u_n^2-4$. Montrer $v_{n+1}=\frac{v_n^2}{4u_n^2}$.

8b. Montrer $v_{n+1}\le \frac{v_n^2}{16}$ pour $n\ge 1$.

8c. Conclure sur la vitesse de convergence (convergence quadratique).