BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — SESSION 2022

Exercice 1 — Suites (5 points)

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et u_{n+1} = rac{1}{3}u_n + 2 pour tout entier naturel $n$.

Partie A — Étude de la suite

Partie B — Algorithme

Exercice 2 — Probabilités (5 points)

Une usine fabrique des pièces à l'aide de trois machines $M_1$ (50%), $M_2$ (30%), $M_3$ (20%). Taux de défectuosité : $M_1:4\%$, $M_2:5\%$, $M_3:8\%$. On prélève une pièce au hasard. $D$ = « défectueuse ».

1. Construire un arbre pondéré.

2. Calculer $P(M_1\cap D)$.

3. Calculer $P(D)$ (formule des probabilités totales).

4. Sachant que la pièce est défectueuse, calculer la probabilité qu'elle vienne de $M_3$.

5. On prélève 10 pièces indépendamment. $X$ = nombre de défectueuses.

Exercice 3 — Géométrie dans l'espace (5 points)

Dans un repère orthonormal (O\,;\,ec{i},\,ec{j},\,ec{k}) : $A(1;2;-1)$, $B(3;0;2)$, $C(-1;4;1)$, $D(2;-1;4)$.

Partie A — Le plan $(ABC)$

Partie B

Partie C — Aire et volume

Exercice 4 — Fonctions (5 points)

Pour $x>0$ : $f(x)=x-1-\ln (x)$. On note ${\mathcal{C}}_f$ sa courbe.

1. Limites de $f$ en $0^{+}$ et $+\infty$.

2. Calculer $f^{\prime }(x)$. Tableau de variations sur $]0;+\infty [$.

3. Signe de $f(x)$ pour tout $x>0$. Démontrer $\ln (x)\le x-1$.

4. Minimum global en $x=1$.

5. $g(x)=\frac{\ln x}{x}$ :

6. Calculer $\underset{1}{\overset{e}{\int }}f(x)dx$ et interpréter géométriquement.