BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — SESSION 2021

Le candidat traite 3 des 4 exercices proposés. Chaque exercice est noté sur 7 points ; le total est ramené sur 20 points. Les exercices sont indépendants les uns des autres. Le candidat peut les traiter dans l'ordre de son choix.

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé. L'usage de la calculatrice sans mémoire « type collège » est autorisé.

EXERCICE 1 (7 points) — Fonction logarithme népérien

Thème : domaine de définition, dérivée, variations, convexité.

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0;+\infty [$ par :

On note ${\mathcal{C}}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan.

Partie A — Étude d'une fonction auxiliaire

On considère la fonction $g$ définie sur $]0;+\infty [$ par :

1. Déterminer $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }g(x)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }g(x)$.
2. Calculer $g^{\prime }(x)$ pour tout $x>0$, puis étudier le signe de $g^{\prime }(x)$.
3. Dresser le tableau de variations de $g$ sur $]0;+\infty [$. On précisera la valeur exacte du minimum.
4. En déduire que, pour tout $x>0$, on a $g(x)>0$.

Partie B — Étude de la fonction $f$

1. Justifier que $f$ est bien définie sur $]0;+\infty [$.
2. 1. Déterminer $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)$. Interpréter graphiquement ce résultat.
   2. Déterminer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$.
   3. Montrer que la droite $\Delta$ d'équation $y=x-2$ est asymptote à la courbe ${\mathcal{C}}_f$ en $+\infty$. Préciser la position relative de ${\mathcal{C}}_f$ et de $\Delta$ sur $]0;+\infty [$.
3. Montrer que, pour tout $x>0$, $f^{\prime }(x)=\frac{g(x)}{x^2}$, où $g$ est la fonction de la Partie A.
4. En déduire les variations de $f$ sur $]0;+\infty [$ et dresser son tableau de variations.
5. Démontrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $[1;2]$. Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-1}$.

Partie C — Convexité

1. Montrer que, pour tout $x>0$, $f^{\prime \prime }(x)=\frac{2\ln x-3}{x^3}$.
2. Étudier le signe de $f^{\prime \prime }(x)$ et en déduire les intervalles de convexité et de concavité de $f$.
3. Montrer que la courbe ${\mathcal{C}}_f$ admet un unique point d'inflexion dont on précisera l'abscisse exacte.

EXERCICE 2 (7 points) — Suites

Thème : suite arithmético-géométrique, limite, somme.

Une entreprise de location de vélos en libre-service possède un parc de vélos. Chaque année, du fait de l'usure et des dégradations, l'entreprise constate que $20\%$ des vélos du parc sont retirés de la circulation. Pour compenser, l'entreprise achète chaque année $3000$ vélos neufs.

Au $1^{\text{er}}$ janvier 2021, le parc compte $20000$ vélos.

Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre de vélos (en milliers) du parc au $1^{\text{er}}$ janvier de l'année $2021+n$. Ainsi $u_0=20$.

1. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=0,8u_n+3$.
2. Calculer $u_1$ et $u_2$.
3. On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n=u_n-15$.
   1. Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique. On précisera sa raison et son premier terme $v_0$.
   2. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=5\times 0,8^n+15$.
4. 1. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
   2. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
5. L'entreprise souhaite savoir à partir de quelle année le parc comptera moins de $15500$ vélos.
   1. Résoudre cette question en déterminant le plus petit entier $n$ tel que $u_n<15,5$.
   2. On donne ci-dessous une fonction écrite en langage Python.

      def seuil():
          u = 20
          n = 0
          while u >= 15.5:
              u = 0.8 * u + 3
              n = n + 1
          return n

      Que renvoie l'appel seuil() ? Justifier.
6. On pose, pour tout entier naturel $n$, $S_n=u_0+u_1+\cdots +u_n=\sum _{k=0}^n{u}_k$.
   1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $S_n=40+15n-25\times 0,8^{n+1}.$
   2. En déduire $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{S_n}{n}$.

EXERCICE 3 (7 points) — Probabilités

Thème : loi binomiale, variable aléatoire, espérance.

Une usine fabrique des composants électroniques. On admet que $4\%$ des composants produits sont défectueux.

Partie A

On prélève au hasard un lot de $50$ composants dans la production. La production est suffisamment importante pour que ce prélèvement soit assimilé à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui, à un lot de $50$ composants, associe le nombre de composants défectueux qu'il contient.

1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
2. Calculer la probabilité $P(X=0)$. On donnera une valeur arrondie à $10^{-3}$.
3. Calculer la probabilité qu'un lot contienne exactement $2$ composants défectueux. Arrondir à $10^{-3}$.
4. Calculer la probabilité qu'un lot contienne au moins un composant défectueux. Arrondir à $10^{-3}$.
5. Calculer la probabilité qu'un lot contienne au plus $3$ composants défectueux. Arrondir à $10^{-3}$.
6. Déterminer l'espérance $E(X)$ et l'écart-type $\sigma (X)$ de $X$. Interpréter $E(X)$.

Partie B

Un client achète un lot de $50$ composants. Le prix de vente du lot est de $200$ euros. L'entreprise s'engage à rembourser $30$ euros au client pour chaque composant défectueux trouvé dans le lot. On note $G$ la variable aléatoire égale au gain (en euros) réalisé par l'entreprise sur la vente d'un lot, c'est-à-dire le prix de vente diminué des remboursements éventuels.

1. Exprimer $G$ en fonction de $X$.
2. En déduire l'espérance $E(G)$ du gain de l'entreprise sur un lot. Interpréter le résultat.
3. L'entreprise affirme : « En moyenne, nous gagnons plus de $190$ euros par lot vendu. » Cette affirmation est-elle exacte ? Justifier.

EXERCICE 4 (7 points) — Géométrie dans l'espace

Thème : vecteurs, plans, intersection.

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$.

On considère les points :

1. 1. Démontrer que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
   2. Montrer que le vecteur $\vec{n}\left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ est normal au plan $(ABC)$.
   3. En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est $4x+3y-z-7=0$.
2. On considère le point $D(4;-1;3)$ et la droite $\mathcal{D}$ passant par $D$ et de vecteur directeur $\vec{n}$.
   1. Donner une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$.
   2. Démontrer que la droite $\mathcal{D}$ est perpendiculaire au plan $(ABC)$.
   3. Déterminer les coordonnées du point $H$, intersection de la droite $\mathcal{D}$ et du plan $(ABC)$.
3. 1. Justifier que $H$ est le projeté orthogonal de $D$ sur le plan $(ABC)$.
   2. En déduire la distance du point $D$ au plan $(ABC)$. On donnera la valeur exacte.
4. Soit $\mathcal{P}$ le plan d'équation $2x-y+z-4=0$.
   1. Les plans $(ABC)$ et $\mathcal{P}$ sont-ils parallèles ? Justifier.
   2. On admet que ces deux plans sont sécants suivant une droite $\Delta$. Déterminer une représentation paramétrique de $\Delta$.