BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — SESSION 2021

Le sujet propose 4 exercices. Le candidat traite 3 des 4 exercices au choix. Chaque exercice est noté sur 7 points ; la note totale est ensuite ramenée sur 20. Les exercices sont indépendants les uns des autres. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation des copies. L'usage de la calculatrice est autorisé conformément à la réglementation en vigueur.

EXERCICE 1 — Suites, récurrence et limites (7 points)

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=5$ et, pour tout entier naturel $n$ :

$$u_{n+1}=\frac{1}{2}{u}_n+3.$$

1. Calculer $u_1$ et $u_2$.

2.a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n<6$.

b. Démontrer que la suite $(u_n)$ est croissante.

c. En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.

3. On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n=u_n-6$.

a. Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique. On précisera sa raison et son premier terme $v_0$.

b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=6-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n$.

c. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.

4. On souhaite déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $6-u_n<10^{-3}$.

a. Résoudre cette inéquation d'inconnue l'entier $n$.

b. On considère le programme écrit en langage Python ci-dessous :

Recopier et compléter la ligne contenant le mot-clé while afin que l'appel seuil() renvoie le plus petit entier $n$ trouvé à la question 4.a.

EXERCICE 2 — Fonction exponentielle (7 points)

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$$f(x)=(x+2)e^{-x}.$$

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan.

Partie A — Étude de la fonction $f$

1. Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$.

2.a. Vérifier que, pour tout réel $x$, $f(x)=\frac{x}{e^x}+\frac{2}{e^x}$.

b. En déduire $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$. Interpréter graphiquement ce résultat.

3.a. On note $f^{\prime }$ la fonction dérivée de $f$. Démontrer que, pour tout réel $x$, $f^{\prime }(x)=-(x+1)e^{-x}$.

b. Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ sur $\mathbb{R}$, puis dresser le tableau de variations complet de $f$ (limites comprises).

4. Montrer que l'équation $f(x)=1$ admet exactement deux solutions sur $\mathbb{R}$.

Partie B — Tangente et position relative

1. Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.

2. On pose, pour tout réel $x$, $g(x)=f(x)-(-x+2)$, où $y=-x+2$ est l'équation de $T$.

a. Calculer $g(0)$ et $g^{\prime }(x)$.

b. Étudier le signe de $g^{\prime }(x)$ et en déduire le sens de variation de $g$.

c. En déduire la position relative de la courbe $\mathcal{C}$ et de la tangente $T$.

EXERCICE 3 — Probabilités (7 points)

Une usine fabrique des composants électroniques sur deux chaînes de production, notées $A$ et $B$.

• La chaîne $A$ produit $60\%$ des composants ; parmi ceux-ci, $3\%$ sont défectueux.
• La chaîne $B$ produit le reste des composants ; parmi ceux-ci, $8\%$ sont défectueux.

On prélève au hasard un composant dans la production totale. On considère les événements :

• $A$ : « le composant provient de la chaîne $A$ » ;
• $B$ : « le composant provient de la chaîne $B$ » ;
• $D$ : « le composant est défectueux ».

Partie A

1. Construire un arbre pondéré décrivant cette situation.

2. Calculer la probabilité que le composant provienne de la chaîne $A$ et soit défectueux.

3. Démontrer que la probabilité que le composant prélevé soit défectueux est $P(D)=0,05$.

4. Un composant prélevé est défectueux. Calculer la probabilité qu'il provienne de la chaîne $B$. On donnera le résultat arrondi au millième.

Partie B

On prélève au hasard, de façon indépendante, un échantillon de $20$ composants dans la production. La production est suffisamment grande pour assimiler ce prélèvement à un tirage successif avec remise. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de composants défectueux dans l'échantillon. On rappelle que $P(D)=0,05$.

1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

2. Calculer la probabilité que l'échantillon ne contienne aucun composant défectueux. On arrondira au millième.

3. Calculer la probabilité que l'échantillon contienne au moins un composant défectueux. On arrondira au millième.

4. Déterminer l'espérance $E(X)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

5. Calculer la probabilité $P(X=2)$. On arrondira au millième.

EXERCICE 4 — Géométrie dans l'espace (7 points)

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$. On considère les points :

$$A(1;0;2),B(2;1;0),C(0;2;1),D(3;1;3).$$

1.a. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.

b. Justifier que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.

2.a. Démontrer que le vecteur $\vec{n}(1;1;1)$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.

b. En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est $x+y+z-3=0$.

3. Le point $D$ appartient-il au plan $(ABC)$ ? Justifier.

4. On considère la droite $\Delta$ passant par $D$ et orthogonale au plan $(ABC)$.

a. Donner une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.

b. Déterminer les coordonnées du point $H$, projeté orthogonal de $D$ sur le plan $(ABC)$.

5. Calculer la distance du point $D$ au plan $(ABC)$.

6. Calculer le volume du tétraèdre $ABCD$. On rappelle que le volume d'un tétraèdre est $V=\frac{1}{3}\mathcal{B}\times h$, où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une face et $h$ la hauteur relative. On calculera précisément l'aire $\mathcal{B}$ du triangle $ABC$ à l'aide du produit vectoriel $\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}$.