BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — SESSION 2021

MATHÉMATIQUES — Métropole — 23 juin 2021 (Jour 1) | 4 heures | Coeff. 16

Exercice 1 — Suites (7 points)

$(u_n)$ : $u_0=0$, $u_{n+1}=\frac{1}{3}{u}_n+\frac{4}{3}$.

1. Calculer $u_1$ et $u_2$.

2. $v_n=u_n-2$ : montrer que $(v_n)$ est géométrique. En déduire $u_n$.

3. Convergence et limite de $(u_n)$.

4. Montrer par récurrence que $u_n\le 2$.

5. Algorithme : plus petit $n$ tel que $u_n\ge S$.

6. Calculer $S_n=\sum _{k=0}^n{u}_k$.

Exercice 2 — Probabilités (7 points)

Ligne A (60%, défaut 5%) et B (40%, défaut 8%).

1-4. Arbre, $P(A\cap D)$, $P(D)$, Bayes $P_D(A)$.

5. Loi binomiale : plus petit $n$ tel que $P(X\ge 1)>0,99$.

6. Loi géométrique $Y$ : espérance et écart-type.

Exercice 3 — Géométrie (6 points)

$A(1;2;-1)$, $B(3;0;1)$, $C(-1;4;3)$, $D(2;1;0)$. Vecteur normal $\vec{n}=(4,2,-2)$.

Équation de $\mathcal{P}$. Droite $\mathcal{D}$ par $D$, vect. dir. $\vec{u}=(2,1,-1)$. Intersection. Distance de $A$ à $\mathcal{P}$.

Exercice 4 — Fonctions (6 points)

$f(x)=(2x-1)e^{-x}+1$. Limites, dérivée, variations, zéros, tangente en $x=0$, intégrale $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f$.