BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — SESSION 2021

L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé. L'usage de la calculatrice sans mémoire « type collège » est autorisé.

Le candidat traite 3 des 4 exercices proposés. Chaque exercice est noté sur 7 points. La note finale est ramenée sur 20. Le candidat indiquera clairement sur sa copie les trois exercices choisis. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation des copies.

EXERCICE 1 — (7 points)

Thème : fonction logarithme et intégration par parties.

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0;+\infty [$ par :

$$f(x)=x-x\ln (x).$$

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O;\vec{ı},\vec{ȷ})$.

Partie A — Étude de la fonction $f$.

1. Déterminer la limite de $f$ en $0$. On rappelle que $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\ln (x)=0$. Que peut-on en déduire graphiquement ?

2. Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$. (On pourra écrire $f(x)=x(1-\ln (x))$.)

3. Montrer que pour tout $x\in ]0;+\infty [$, on a $f^{\prime }(x)=-\ln (x)$.

4. Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ sur $]0;+\infty [$ puis dresser le tableau de variations complet de $f$ (limites comprises).

5. En déduire que la fonction $f$ admet un maximum sur $]0;+\infty [$ dont on précisera la valeur.

6. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $[1;+\infty [$, et donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-1}$.

Partie B — Calcul d'aire.

On admet que pour tout $x\in [1;\alpha ]$, $f(x)\ge 0$. On note $\mathcal{A}$ l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=1$ et $x=2$.

1. À l'aide d'une intégration par parties, montrer que :

$$\underset{1}{\overset{2}{\int }}x\ln (x)\mathrm{d}x=2\ln (2)-\frac{3}{4}.$$

2. En déduire la valeur exacte de $\underset{1}{\overset{2}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$.

3. Justifier que $f(x)\ge 0$ pour tout $x\in [1;2]$, puis en déduire la valeur exacte de l'aire $\mathcal{A}$. Donner une valeur approchée de $\mathcal{A}$ à $10^{-2}$ près.

EXERCICE 2 — (7 points)

Thème : suites définies par récurrence.

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=5$ et, pour tout entier naturel $n$ :

$$u_{n+1}=\frac{1}{2}{u}_n+2.$$

1. Calculer $u_1$ et $u_2$.

2. On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=\frac{1}{2}x+2$.

  a. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $g(x)=x$. On notera $\ell$ sa solution (point fixe de $g$).

  b. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a $u_n\ge 4$.

3.  a. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}-u_n=-\frac{1}{2}(u_n-4)$.

  b. En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$.

  c. Justifier que la suite $(u_n)$ est convergente.

4. On pose, pour tout entier naturel $n$, $v_n=u_n-4$.

  a. Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique. On précisera sa raison et son premier terme.

  b. Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.

  c. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$. Ce résultat est-il cohérent avec la question 2.a ?

5. On souhaite déterminer le plus petit entier $n$ tel que $u_n-4\le 10^{-3}$.

  a. Résoudre cette inéquation et donner la valeur de $n$.

  b. Recopier et compléter le script Python ci-dessous afin qu'il renvoie cette valeur de $n$ :

EXERCICE 3 — (7 points)

Thème : probabilités (loi binomiale, fluctuation, espérance).

Une entreprise produit en grande série des composants électroniques. On admet que la proportion de composants défectueux dans l'ensemble de la production est $p=0,04$.

On prélève au hasard un échantillon de $n=50$ composants dans la production. La production est suffisamment importante pour que ce prélèvement soit assimilé à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de composants défectueux dans l'échantillon.

Partie A — Loi binomiale.

1. Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

2. Calculer la probabilité que l'échantillon ne contienne aucun composant défectueux. On donnera le résultat arrondi à $10^{-3}$.

3. Calculer la probabilité que l'échantillon contienne exactement deux composants défectueux. On donnera le résultat arrondi à $10^{-3}$.

4. Calculer la probabilité $P(X\ge 1)$, c'est-à-dire la probabilité que l'échantillon contienne au moins un composant défectueux. On donnera le résultat arrondi à $10^{-3}$.

5. Déterminer l'espérance $E(X)$ et l'écart-type $\sigma (X)$ de la variable aléatoire $X$ (valeur exacte puis valeur approchée à $10^{-2}$). Interpréter $E(X)$.

Partie B — Intervalle de fluctuation.

Un contrôleur affirme que le réglage de la chaîne de production est correct, c'est-à-dire que la proportion de composants défectueux est bien $p=0,04$. Pour le vérifier, on prélève un échantillon de taille $n=400$.

1. Vérifier que les conditions $n\ge 30$, $np\ge 5$ et $n(1-p)\ge 5$ sont satisfaites.

2. Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique $I$ au seuil de $95\%$ de la fréquence de composants défectueux dans un échantillon de taille $400$. On rappelle :

$$I=\left[p-1,96\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}};p+1,96\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\right].$$

On arrondira les bornes à $10^{-3}$.

3. Sur l'échantillon de $400$ composants prélevé, on a observé $30$ composants défectueux. Calculer la fréquence observée. Au seuil de $95\%$, doit-on remettre en cause l'affirmation du contrôleur ? Justifier.

EXERCICE 4 — (7 points)

Thème : géométrie analytique dans l'espace.

L'espace est rapporté à un repère orthonormé $(O;\vec{ı},\vec{ȷ},\vec{k})$.

On considère les points :

$$A(2;0;1),B(1;2;3),C(0;1;2),D(3;2;0).$$

1.  a. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.

  b. Justifier que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.

2. On considère le vecteur $\vec{n}(0;-1;1)$.

  a. Démontrer que $\vec{n}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.

  b. En déduire une équation cartésienne du plan $(ABC)$.

3. Soit $\Delta$ la droite passant par $D$ et de vecteur directeur $\vec{n}$.

  a. Donner une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.

  b. Démontrer que la droite $\Delta$ est orthogonale au plan $(ABC)$.

4.  a. Déterminer les coordonnées du point $H$, intersection de la droite $\Delta$ et du plan $(ABC)$.

  b. Le point $H$ est le projeté orthogonal de $D$ sur le plan $(ABC)$. Calculer la distance du point $D$ au plan $(ABC)$.

5. Calculer le volume du tétraèdre $ABCD$. On rappelle que le volume d'un tétraèdre est $V=\frac{1}{3}\times \mathcal{B}\times h$, où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur correspondante. (On pourra utiliser que l'aire du triangle $ABC$ vaut $\frac{1}{2}\Vert \overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}\Vert$ ; cette formule sera justifiée.)