BACCALAURÉAT GÉNÉRAL
Épreuve de Mathématiques — Enseignement de spécialité
Session : Amérique du Nord — 5 mai 2021 (Jour 2)
Durée de l'épreuve : 4 heures | Coefficient : 7
L'usage de la calculatrice est autorisé (conformément à la circulaire n° 99-186)
Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 proposés.
Chaque exercice est noté sur 7 points, à l'exception de l'exercice 4 noté sur 6 points.
La note totale est sur 20 points. Les exercices sont indépendants et peuvent être traités dans n'importe quel ordre.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entrent pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Chaque exercice est noté sur 7 points, à l'exception de l'exercice 4 noté sur 6 points.
La note totale est sur 20 points. Les exercices sont indépendants et peuvent être traités dans n'importe quel ordre.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entrent pour une part importante dans l'appréciation des copies.
EXERCICE 1 — Étude d'une fonction logarithmique (7 points)
On considère la fonction définie sur par :
On note sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
Partie A — Étude de la fonction
1. Déterminer les limites de en et en . Interpréter graphiquement ces résultats.
2. Montrer que est dérivable sur et calculer . En déduire le tableau de variations complet de .
3. Montrer que l'équation admet exactement deux solutions et dans , avec . Donner un encadrement d'amplitude de chacune.
4. En déduire le signe de selon les valeurs de .
Partie B — Étude d'une tangente et d'une inégalité
5. Montrer que la droite d'équation est tangente à en un point que l'on précisera.
6. En utilisant les résultats de la Partie A, démontrer que pour tout :
Préciser les cas d'égalité.
Partie C — Application
7. On considère la suite définie pour tout entier naturel par .
a. Montrer que la suite est croissante à partir d'un certain rang. Lequel ?
b. En déduire que la suite diverge vers .
b. En déduire que la suite diverge vers .
EXERCICE 2 — Suites et point fixe (7 points)
On considère la suite définie par :
On note la fonction définie sur par .
Partie A — Points fixes et étude de
1. Résoudre l'équation sur . On note la plus grande solution. Calculer .
2. Calculer pour tout . Étudier le signe de sur .
3. Montrer que pour tout , on a .
4. Montrer que pour tout , on a .
Partie B — Étude de la suite
5. Vérifier que . Montrer par récurrence que pour tout entier naturel , .
6. Montrer que la suite est décroissante. En déduire qu'elle est convergente.
7. Déterminer la limite de .
Partie C — Vitesse de convergence
8. On pose . Montrer que pour tout entier naturel .
(On pourra utiliser l'inégalité des accroissements finis ou une majoration de .)
(On pourra utiliser l'inégalité des accroissements finis ou une majoration de .)
EXERCICE 3 — Probabilités : loi normale et test statistique (7 points)
Une usine fabrique des plaques de verre dont l'épaisseur (en mm) est modélisée par une variable aléatoire suivant une loi normale de moyenne mm et d'écart-type mm.
Partie A — Contrôle de conformité individuel
1. Calculer . Interpréter ce résultat dans le contexte.
2. Une plaque est dite conforme si son épaisseur appartient à l'intervalle mm.
Calculer la probabilité qu'une plaque soit conforme. Arrondir à .
Calculer la probabilité qu'une plaque soit conforme. Arrondir à .
3. On prélève un lot de 200 plaques. Soit la variable aléatoire égale au nombre de plaques non conformes dans ce lot.
a. Justifier que suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
b. Calculer et .
c. En utilisant l'approximation par la loi normale, calculer . Arrondir à .
b. Calculer et .
c. En utilisant l'approximation par la loi normale, calculer . Arrondir à .
Partie B — Test statistique
Après une révision de la machine, le responsable qualité souhaite vérifier si le pourcentage de plaques non conformes a diminué. Il formule les hypothèses suivantes :
: la proportion de plaques non conformes est toujours (la machine n'a pas changé).
: la proportion de plaques non conformes est strictement inférieure à (amélioration).
: la proportion de plaques non conformes est strictement inférieure à (amélioration).
4. On prélève un échantillon de plaques et on note la fréquence de plaques conformes dans cet échantillon. Le test est réalisé au niveau de signification .
a. Sous , déterminer la loi approximative de (on utilisera l'approximation normale). Rappeler les conditions d'application.
b. En déduire la région critique du test sous la forme . Calculer la valeur de arrondie à .
c. Sur les 500 plaques prélevées, 463 sont conformes. Conclure.
b. En déduire la région critique du test sous la forme . Calculer la valeur de arrondie à .
c. Sur les 500 plaques prélevées, 463 sont conformes. Conclure.
Partie C — Intervalle de fluctuation
5. Dans un autre atelier, on suppose que la proportion de plaques conformes est . On prélève des échantillons de taille .
Déterminer l'intervalle de fluctuation de la fréquence de plaques conformes au seuil de .
Déterminer l'intervalle de fluctuation de la fréquence de plaques conformes au seuil de .
EXERCICE 4 — Géométrie dans l'espace et nombres complexes (6 points)
Cet exercice comporte deux parties indépendantes.
Partie A — Nombres complexes (3 points)
Dans le plan muni d'un repère orthonormé , on note l'affixe d'un point courant.
On considère les points , , d'affixes respectives :
1. Écrire sous forme trigonométrique et sous forme exponentielle. En déduire .
2. Calculer le rapport . En déduire la nature et les caractéristiques du triangle .
3. On considère la transformation du plan qui à tout point d'affixe associe le point d'affixe .
a. Montrer que est une isométrie. Quelle est sa nature ?
b. Déterminer l'image de par .
b. Déterminer l'image de par .
Partie B — Géométrie dans l'espace (3 points)
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé , on donne les points :
4. Déterminer une équation cartésienne du plan passant par , et .
5. Calculer la distance du point au plan .
6. Déterminer les coordonnées du pied de la perpendiculaire abaissée de sur .