Bac spécialité Maths — Asie, 11 juin 2025 (Jour 1)

Exercice 1 (5 points)

L'espace est rapporté à un repère orthonormé $\left(\mathrm{O};\vec{ı},\vec{ȷ},\vec{k}\right)$.

On considère :

• $\alpha$ un réel quelconque ;
• les points $\mathrm{A}(1;1;0)$, $\mathrm{B}(2;1;0)$ et $\mathrm{C}(\alpha ;3;\alpha )$ ;
• $(d)$ la droite dont une représentation paramétrique est :

$\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2t\\ z=-t\end{array},t\in \mathbb{R}$

Pour chacune des affirmations suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse, puis justifier la réponse donnée. Une réponse non argumentée ne sera pas prise en compte.

Affirmation 1 : Pour toutes les valeurs de $\alpha$, les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan et un vecteur normal à ce plan est $\vec{ȷ}\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.

Affirmation 2 : Il existe exactement une valeur de $\alpha$ telle que les droites $(AC)$ et $(d)$ soient parallèles.

Affirmation 3 : Une mesure de l'angle $\widehat{OAB}$ est $135°$.

Affirmation 4 : Le projeté orthogonal du point $A$ sur la droite $(d)$ est le point $\mathrm{H}(1;2;2)$.

Affirmation 5 : La sphère de centre $O$ et de rayon $1$ rencontre la droite $(d)$ en deux points distincts.

On rappelle que la sphère de centre $\Omega$ et de rayon $r$ est l'ensemble des points de l'espace situés à une distance $r$ de $\Omega$.

Exercice 2 (5 points)

Une entreprise qui fabrique des jouets doit effectuer des contrôles de conformité avant leur commercialisation. Dans cet exercice, on s'intéresse à deux tests effectués par l'entreprise de jouets : un test de fabrication et un test de sécurité.

À la suite d'un grand nombre de vérifications, l'entreprise affirme que :

• $95\%$ des jouets réussissent le test de fabrication ;
• Parmi les jouets qui réussissent le test de fabrication, $98\%$ réussissent le test de sécurité ;
• $1\%$ des jouets ne réussissent aucun des deux tests.

On choisit au hasard un jouet parmi les jouets produits. On note :

• $F$ l'évènement : « le jouet réussit le test de fabrication » ;
• $S$ l'évènement : « le jouet réussit le test de sécurité ».

Partie A

1. À partir des données de l'énoncé, donner les probabilités $P(F)$ et $P_F(S)$.
2. 1. Construire un arbre pondéré qui illustre la situation avec les données disponibles dans l'énoncé.
   2. Montrer que $P_{\overline{F}}\left(\overline{S}\right)=0,2$.
3. Calculer la probabilité que le jouet choisi réussisse les deux tests.
4. Montrer que la probabilité que le jouet réussisse le test de sécurité vaut $0,97$ arrondi au centième.
5. Lorsque le jouet a réussi le test de sécurité, quelle est la probabilité qu'il réussisse le test de fabrication ? Donner une valeur approchée du résultat au centième.

Partie B

On prélève au hasard dans la production de l'entreprise un lot de $n$ jouets, où $n$ est un entier strictement positif. On suppose que ce prélèvement se fait sur une quantité suffisamment grande de jouets pour être assimilé à une succession de $n$ tirages indépendants avec remise.

On rappelle que la probabilité qu'un jouet réussisse le test de fabrication est égale à $0,95$. Soit $S_n$ la variable aléatoire qui compte le nombre de jouets ayant réussi le test de fabrication. On admet que $S_n$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,95$.

1. Exprimer l'espérance et la variance de la variable aléatoire $S_n$ en fonction de $n$.
2. Dans cette question, on pose $n=150$.
   1. Déterminer une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $P(S_{150}=145)$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
   2. Déterminer la probabilité qu'au moins $94\%$ des jouets de ce lot réussissent le test de fabrication. Donner une valeur approchée du résultat à $10^{-3}$ près.
3. Dans cette question, l'entier naturel non nul $n$ n'est plus fixé.

   Soit $F_n$ la variable aléatoire définie par : $F_n=\frac{S_n}{n}$. La variable aléatoire $F_n$ représente la proportion des jouets qui réussissent le test de fabrication dans un lot de $n$ jouets prélevés.

   On note $E(F_n)$ l'espérance et $V(F_n)$ la variance de la variable aléatoire $F_n$.

   1. Montrer que $E(F_n)=0,95$ et que $V(F_n)=\frac{0,0475}{n}$.
   2. On s'intéresse à l'évènement $I$ suivant : « la proportion de jouets qui réussissent le test de fabrication dans un lot de $n$ jouets est strictement comprise entre $93\%$ et $97\%$ ».

      En utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, déterminer une valeur $n$ de la taille du lot de jouets à prélever, à partir de laquelle la probabilité de l'évènement $I$ est supérieure ou égale à $0,96$.

Exercice 3 (5 points)

Un patient doit prendre toutes les heures une dose de $2$ ml d'un médicament. On introduit la suite $(u_n)$ telle que le terme $u_n$ représente la quantité de médicament, exprimée en ml, présente dans l'organisme immédiatement après $n$ prises de médicament. On a $u_1=2$ et

pour tout entier naturel $n$ strictement positif : $u_{n+1}=2+0,8u_n$.

Partie A

En utilisant ce modèle, un médecin cherche à savoir à partir de combien de prises du médicament la quantité présente dans l'organisme du patient est strictement supérieure à $9$ mL.

1. Calculer la valeur $u_2$.
2. Montrer par récurrence que : $u_n=10-8\times 0,8^{n-1}$ pour tout entier naturel $n$ strictement positif.
3. Déterminer $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n$ et donner une interprétation de ce résultat dans le contexte de l'exercice.
4. Soit $N$ un entier naturel strictement positif, l'inéquation $u_N⩾10$ admet-elle des solutions ? Interpréter le résultat de cette question dans le contexte de l'exercice.
5. Déterminer à partir de combien de prises de médicament la quantité de médicament présente dans l'organisme du patient est strictement supérieure à $9$ mL. Justifier votre démarche.

Partie B

En utilisant la même modélisation, le médecin s'intéresse à la quantité moyenne de médicament présente dans l'organisme du malade au cours du temps. On définit pour cela la suite $(S_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ strictement positif par

$S_n=\frac{u_1+u_2+\cdots +u_n}{n}.$

On admet que la suite $(S_n)$ est croissante.

1. Calculer $S_2$.
2. Montrer que pour tout entier naturel $n$ strictement positif, $u_1+u_2+\cdots +u_n=10n-40+40\times 0,8^n.$
3. Calculer $\underset{n\to +\infty }{\lim }{S}_n$.
4. On donne la fonction mystere suivante, écrite en langage Python :

   def mystere(k) :
       n = 1
       s = 2
       while s < k :
           n = n + 1
           s = 10 - 40/n + (40*0.8**n)/n
       return n

   Dans le contexte de l'énoncé, que représente la valeur renvoyée par la saisie mystere(9) ?

5. Justifier que cette valeur est strictement supérieure à $10$.

Exercice 4 (5 points)

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0;+\infty [$ par

$f(x)=\frac{{\mathrm{e}}^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}$

et on appelle ${\mathcal{C}}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. On définit la fonction $g$ sur l'intervalle $]0;+\infty [$ par $g(x)={\mathrm{e}}^{\sqrt{x}}$.
   1. Montrer que $g^{\prime }(x)=f(x)$ pour tout $x$ de l'intervalle $]0;+\infty [$.
   2. Pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0;+\infty [$, calculer $f^{\prime }(x)$ et montrer que : $f^{\prime }(x)=\frac{{\mathrm{e}}^{\sqrt{x}}\left(\sqrt{x}-1\right)}{4x\sqrt{x}}.$
2. 1. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$.
   2. Interpréter graphiquement ce résultat.
3. 1. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
   2. Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur $]0;+\infty [$. Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ en y faisant figurer les limites aux bornes de l'intervalle de définition.
   3. Montrer que l'équation $f(x)=2$ admet une unique solution sur l'intervalle $[1;+\infty [$ et donner une valeur approchée à $10^{-1}$ près de cette solution.
4. On pose $I=\underset{1}{\overset{2}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$.
   1. Calculer $I$.
   2. Interpréter graphiquement le résultat.
5. On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur l'intervalle $]0;+\infty [$ et que : $f^{\prime \prime }(x)=\frac{{\mathrm{e}}^{\sqrt{x}}\left(x-3\sqrt{x}+3\right)}{8x^2\sqrt{x}}.$
   1. En posant $X=\sqrt{x}$, montrer $x-3\sqrt{x}+3>0$ pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0;+\infty [$.
   2. Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0;+\infty [$.