Bac spécialité Maths — Amérique du Nord, 27 mars 2023 (Jour 1)

Exercice 1 (5 points)

Partie A

Une entreprise produit des déchets qu'elle classe en trois catégories selon leur nature : déchets minéraux (notés $M$), déchets non dangereux (notés $N$) et déchets dangereux (notés $D$). Ces trois catégories représentent respectivement $69\%$, $28\%$ et $3\%$ de la production totale.

Une partie de ces déchets est recyclable (évènement noté $R$), l'autre ne l'est pas (évènement noté $\overline{R}$). On dispose des informations suivantes :

• parmi les déchets minéraux, $73\%$ sont recyclables ;
• parmi les déchets non dangereux, $49\%$ sont recyclables ;
• parmi les déchets dangereux, $35\%$ sont recyclables.

On prélève au hasard un déchet dans la production de l'entreprise. On admet que la probabilité d'un évènement est assimilée à la proportion correspondante.

1. Modéliser la situation par un arbre pondéré.
2. Calculer la probabilité que le déchet prélevé soit dangereux et recyclable.
3. Calculer $P\left(M\cap \overline{R}\right)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
4. Montrer que $P(R)=0,6514$.
5. On prélève un déchet et on constate qu'il est recyclable. Calculer la probabilité qu'il soit non dangereux. On arrondira le résultat au dix-millième.

Partie B

On prélève au hasard $20$ déchets dans la production de l'entreprise. La production est suffisamment importante pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de déchets recyclables parmi ces $20$ déchets.

1. 1. On admet que $X$ suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.
   2. Calculer la probabilité d'obtenir exactement $14$ déchets recyclables parmi les $20$ prélevés. On arrondira le résultat au dix-millième.
2. On prélève désormais $n$ déchets, où $n$ désigne un entier naturel non nul. On note $X_n$ la variable aléatoire qui compte le nombre de déchets recyclables dans cet échantillon de taille $n$. La variable $X_n$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $0,6514$. On pose $p_n=P(X_n=0)$.
   1. Déterminer, en fonction de $n$, l'expression de $p_n$.
   2. Déterminer le plus petit entier $n$ pour lequel la probabilité qu'au moins un des déchets prélevés soit recyclable est supérieure ou égale à $0,9999$.

Exercice 2 (5 points)

Partie A — Étude d'une fonction auxiliaire

On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $$g(x)=3{\mathrm{e}}^{2x}-2x-3.$$

1. 1. Déterminer la limite de $g$ en $-\infty$.
   2. Déterminer la limite de $g$ en $+\infty$.
2. 1. On note $g^{\prime }$ la fonction dérivée de $g$. Montrer que, pour tout réel $x$, $g^{\prime }(x)=6{\mathrm{e}}^{2x}-2$.
   2. Étudier le signe de $g^{\prime }(x)$ sur $\mathbb{R}$.
   3. Dresser le tableau de variations de $g$ sur $\mathbb{R}$. On précisera la valeur exacte du minimum de $g$.
3. 1. Montrer que $0$ est solution de l'équation $g(x)=0$.
   2. Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet exactement deux solutions sur $\mathbb{R}$. On note $\alpha$ la solution non nulle. Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-1}$.
4. En déduire le signe de $g(x)$ sur $\mathbb{R}$.

Partie B — Étude de la fonction $f$

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $$f(x)={\mathrm{e}}^{3x}-(2x+1){\mathrm{e}}^x.$$

1. Montrer que, pour tout réel $x$, $f^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^{x}g(x)$, où $g$ est la fonction étudiée dans la partie A.
2. En déduire les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.
3. La fonction $f$ est-elle convexe sur $\mathbb{R}$ ? Justifier.

Exercice 3 (5 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une réponse fausse, une absence de réponse ou une réponse multiple ne rapporte ni n'enlève aucun point.

L'espace est rapporté à un repère orthonormé $\left(O;\vec{ı},\vec{ȷ},\vec{k}\right)$. On considère les points $A(-1;2;5)$, $B(3;8;8)$, $C(3;0;9)$ et $D(8;-3;-8)$.

1. Le triangle $ABC$ est :
   1. rectangle et isocèle en $A$ ;
   2. équilatéral ;
   3. rectangle en $B$ ;
   4. quelconque.
2. Une équation cartésienne du plan $(BCD)$ est :
   1. $4x+y+z+21=0$ ;
   2. $4x-y+z-21=0$ ;
   3. $4x+y+z-21=0$ ;
   4. $x+4y+z-21=0$.
3. Le plan $(ABC)$ a pour équation cartésienne $x-2y-2z+15=0$. On note $H$ le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(ABC)$. Les coordonnées de $H$ sont :
   1. $(3;7;-2)$ ;
   2. $(3;7;2)$ ;
   3. $(-3;7;2)$ ;
   4. $(3;-7;2)$.
4. On considère la droite $\Delta$ de représentation paramétrique $\{\begin{array}{l}x=4+t\\ y=1-t\\ z=2+3t\end{array}$, $t\in \mathbb{R}$. Les droites $(BC)$ et $\Delta$ sont :
   1. sécantes ;
   2. strictement parallèles ;
   3. confondues ;
   4. non coplanaires.
5. On considère le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $2x-y+2z-6=0$. Les plans $\mathcal{P}$ et $(ABC)$ sont :
   1. perpendiculaires ;
   2. sécants selon la droite $(AB)$ ;
   3. sécants selon la droite $(AC)$ ;
   4. strictement parallèles.

Exercice 4 (5 points)

Partie A — Étude de la suite $(u_n)$

On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty [$ par : $$f(x)=\frac{1}{2}\left(x+\frac{11}{x}\right).$$ On définit la suite $(u_n)$ par $u_0=5$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=f(u_n)$.

1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
2. Montrer que, pour tout réel $x$ de $\left[\sqrt{11};+\infty \right[$, on a $f^{\prime }(x)=\frac{x^2-11}{2x^2}$, et en déduire que $f$ est croissante sur $\left[\sqrt{11};+\infty \right[$.
3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $$u_n⩾u_{n+1}⩾\sqrt{11}.$$
4. En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.
5. Déterminer la limite $\ell$ de la suite $(u_n)$.

Partie B — Application géométrique

Pour tout entier naturel $n$, on considère un rectangle $R_n$ d'aire $11$ et de longueur $L_n$, dont la largeur est notée ${\ell }_n$. On pose $L_0=5$. Pour tout entier naturel $n$, le rectangle $R_{n+1}$ a pour longueur $L_{n+1}=\frac{L_n+{\ell }_n}{2}$.

1. 1. Calculer la largeur ${\ell }_0$ du rectangle $R_0$.
   2. Exprimer ${\ell }_n$ en fonction de $L_n$ pour tout entier naturel $n$.
2. Montrer que les suites $(L_n)$ et $(u_n)$ sont égales.
3. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : ${\ell }_n⩽\sqrt{11}⩽L_n$.
4. On admet que les suites $(L_n)$ et $({\ell }_n)$ convergent toutes les deux vers $\sqrt{11}$. Interpréter géométriquement ce résultat. On considère le script Python ci-dessous, dans lequel la fonction heron renvoie un encadrement de $\sqrt{11}$ par les valeurs ${\ell }_n$ et $L_n$ arrondies au millionième, où $n$ est l'argument d'appel de la fonction.

   def heron(n):
       L = 5
       for i in range(n):
           l = 11 / L
           L = (L + l) / 2
       l = 11 / L
       return (round(l, 6), round(L, 6))

   1. Donner le couple de valeurs renvoyé par l'appel heron(3).
   2. Interpréter ces deux valeurs en termes de précision sur $\sqrt{11}$.