Exercice 1 — Suites (5 points)

Une entreprise de production artisanale modélise l'évolution de son stock de matières premières (en tonnes) par une suite $(u_n{)}_{n\ge 0}$. On pose $u_0=10$ et, pour tout entier $n\ge 0$ :

Partie A — Étude de la suite.

1. Montrer que la suite $(u_n)$ est définie pour tout entier $n\ge 0$ et calculer $u_1$, $u_2$.

2. On pose $v_n=u_n-6$ pour tout $n\ge 0$.

a) Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

b) En déduire l'expression de $v_n$ en fonction de $n$, puis celle de $u_n$ en fonction de $n$.

3. Étudier la monotonie de la suite $(u_n)$, puis calculer $\underset{no+\infty }{\lim }{u}_n$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

4. Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $u_n\le 6,01$. On pourra utiliser le fait que \ln\!\left(\dfrac{1}{3} ight) pprox -1{,}0986.

Partie B — Algorithme.

5. On s'intéresse à l'algorithme suivant :

u ← 10
n ← 0
Tant que u > 6,1 :
    u ← (1/3) * u + 4
    n ← n + 1
Afficher n

a) Faire fonctionner cet algorithme à la main pour les deux premières itérations.

b) Que renvoie cet algorithme ? Expliquer brièvement ce qu'il calcule.

Exercice 2 — Probabilités (5 points)

Dans une région, une campagne de dépistage d'une maladie est organisée. On sait que :

• $3\%$ de la population est atteinte de la maladie.
• Le test utilisé est positif chez $95\%$ des personnes malades.
• Le test est positif chez $8\%$ des personnes saines (faux positifs).

On choisit une personne au hasard dans la population. On note :

• $M$ : l'événement « la personne est malade »,
• $T$ : l'événement « le test est positif ».

1. Représenter la situation par un arbre de probabilités complet et légendé.

2. Calculer la probabilité que la personne soit malade et que le test soit positif.

3. En utilisant la formule des probabilités totales, calculer $P(T)$.

4. La personne est testée positive. Calculer la probabilité qu'elle soit réellement malade (valeur prédictive positive). Arrondir à $10^{-4}$ près.

5. On teste $n$ personnes indépendamment. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de tests positifs.

a) Quelle est la loi suivie par $X$ ?

b) Pour $n=500$, calculer l'espérance et l'écart-type de $X$.

c) Pour $n=500$, donner une valeur approchée de la probabilité que le nombre de tests positifs soit compris entre 40 et 55 (inclus).

Exercice 3 — Géométrie dans l'espace (5 points)

Dans un repère orthonormé (O;ec{i},ec{j},ec{k}) de l'espace, on considère les points :

1. Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AD}$.

2. Montrer que le vecteur ec{n} = egin{pmatrix} 4 \ 2 \ -2 \end{pmatrix} est un vecteur normal au plan $(ABC)$. En déduire une équation cartésienne du plan $(ABC)$.

3. a) Montrer que $D$ n'appartient pas au plan $(ABC)$.

b) Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par $D$ et perpendiculaire au plan $(ABC)$.

4. Déterminer les coordonnées du point $H$, pied de la perpendiculaire abaissée de $D$ sur le plan $(ABC)$.

5. Calculer la distance de $D$ au plan $(ABC)$. Donner la valeur exacte.

Exercice 4 — Étude de fonction (5 points)

On étudie la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

1. Calculer les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$. Préciser les éventuelles asymptotes horizontales.

2. Calculer $f^{\prime }(x)$ pour tout réel $x$, puis étudier le signe de $f^{\prime }(x)$. Dresser le tableau de variations complet.

3. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution lpha sur $\mathbb{R}$, et que lpha \in [-1;\, 0].

4. Calculer $f(0)$ et $f(1)$. En déduire que le point I\!\left(\dfrac{1}{2};\, 1 ight) est un centre de symétrie de la courbe ${\mathcal{C}}_f$, en montrant que pour tout réel $x$ :

5. a) Justifier que $\mathcal{A}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)dx$.

b) Calculer $\underset{0}{\overset{1}{\int }}(2x-1)e^{-x}dx$ en utilisant une intégration par parties. En déduire la valeur exacte de $\mathcal{A}$.