BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — SESSION 2022

Exercice 1 — Suites (5 points)

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=10$ et, pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+1}=\frac{1}{2}{u}_n+3.$$

1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
2. 1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n>6$.
   2. Démontrer que la suite $(u_n)$ est décroissante.
   3. En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.
3. On définit la suite $(v_n)$ par : pour tout entier naturel $n$, $v_n=u_n-6$.
   1. Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique. On précisera sa raison et son premier terme $v_0$.
   2. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=6+4{\left(\frac{1}{2}\right)}^n$.
   3. Déterminer $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n$.
4. On considère le script Python ci-dessous, où la fonction seuil renvoie une valeur.

   def seuil():
  u = 10
  n = 0
  while u - 6 > 0.001 :
    u = 0.5 * u + 3
    n = n + 1
  return n

   Déterminer, par le calcul, la valeur renvoyée par cet appel de la fonction seuil.

Exercice 2 — Fonction exponentielle (5 points)

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $$f(x)=(x-1)e^{-x}.$$ On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. Déterminer $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$.
2. 1. Démontrer que, pour tout réel $x$, $f(x)=\frac{x}{e^x}-\frac{1}{e^x}$.
   2. En déduire $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$. Interpréter graphiquement ce résultat.
3. On admet que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et on note $f^{\prime }$ sa dérivée.
   1. Démontrer que, pour tout réel $x$, $f^{\prime }(x)=(2-x)e^{-x}$.
   2. Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$. On précisera la valeur exacte du maximum de $f$.
4. 1. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $\mathbb{R}$ et la déterminer.
   2. En déduire le signe de $f(x)$ sur $\mathbb{R}$.
5. Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.

Exercice 3 — Probabilités (5 points)

Une usine produit des cartes électroniques. On distingue deux ateliers de fabrication : l'atelier $A$ et l'atelier $B$.

L'atelier $A$ produit $70\%$ des cartes, l'atelier $B$ produit le reste de la production.

On constate que :

• $3\%$ des cartes produites par l'atelier $A$ sont défectueuses ;
• $8\%$ des cartes produites par l'atelier $B$ sont défectueuses.

On prélève au hasard une carte dans la production totale. On note les événements :

• $A$ : « la carte provient de l'atelier $A$ » ;
• $B$ : « la carte provient de l'atelier $B$ » ;
• $D$ : « la carte est défectueuse ».

1. Construire un arbre pondéré modélisant la situation.
2. Calculer la probabilité que la carte provienne de l'atelier $A$ et soit défectueuse.
3. Démontrer que la probabilité que la carte soit défectueuse est $P(D)=0,045$.
4. Une carte prélevée est défectueuse. Calculer la probabilité qu'elle provienne de l'atelier $B$. On donnera le résultat arrondi à $10^{-3}$.
5. On prélève au hasard, de façon indépendante, un échantillon de $20$ cartes dans la production totale. On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de cartes défectueuses dans l'échantillon.
   1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
   2. Calculer la probabilité que l'échantillon contienne exactement $2$ cartes défectueuses. On arrondira à $10^{-3}$.
   3. Calculer la probabilité que l'échantillon contienne au moins une carte défectueuse. On arrondira à $10^{-3}$.
   4. Déterminer l'espérance $E(X)$ et interpréter le résultat.

Exercice 4 — Géométrie dans l'espace (5 points)

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$. On considère les points : $$A(1;0;2),B(3;2;2),C(0;0;4),D(2;-1;4).$$

1. 1. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
   2. Démontrer que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
2. 1. Montrer que le vecteur $\vec{n}(2;-2;1)$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
   2. En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est $2x-2y+z-4=0$.
3. On considère la droite $\Delta$ passant par $D$ et de vecteur directeur $\vec{n}$.
   1. Donner une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.
   2. Déterminer les coordonnées du point $H$, intersection de la droite $\Delta$ et du plan $(ABC)$.
4. Calculer la distance du point $D$ au plan $(ABC)$.
5. Calculer le volume du tétraèdre $ABCD$. On rappelle que le volume d'un tétraèdre est $V=\frac{1}{3}\mathcal{B}\times h$, où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur associée, et on admet que l'aire du triangle $ABC$ vaut $3$.