BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — SESSION 2022

Centres étrangers — Amérique du Nord | Jour 2 | 20 mai 2022 | 4 heures

Exercice 1 — Étude d'une fonction (5 points)

$f(x)=(2x-1)e^{-x}$ sur $\mathbb{R}$.

1. Limites en $\pm \infty$ et asymptotes.

2. Montrer que $f^{\prime }(x)=(3-2x)e^{-x}$. Tableau de variations.

3. Calculer $f^{\prime \prime }(x)$ et le point d'inflexion.

4. Montrer que $y=-x-1$ est asymptote en $-\infty$.

5. Abscisses des intersections avec l'axe des abscisses.

6. Calculer $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)dx$.

Exercice 2 — Nombres complexes (5 points)

$j=e^{i\pi /3}$, $a=2+2i\sqrt{3}$, $b=a\cdot j$, $c=a\cdot j^2$.

1. Forme exponentielle de $a$.

2. Montrer $|b|=|c|=|a|$. Calculer $b$ et $c$. Nature du triangle $OAB$.

3. $\phi (z)=j\cdot z+(1-j)$ : montrer que c'est une rotation.

4. $z_n=a\cdot j^n$ : montrer la périodicité. Hexagone régulier.

Exercice 3 — Probabilités (5 points)

Composants défectueux : $p=5\%$. Boîtes de 40.

$X\sim \mathcal{B}(40,0,05)$. $E(X)$, $\sigma (X)$, $P(X\le 3)$, $P(X\ge 5)$.

Approximation normale pour $Y\sim \mathcal{B}(2000,0,05)$.

Intervalle de fluctuation pour $n=400$.

Exercice 4 — Suites (5 points)

$u_0=3$, $u_{n+1}=\frac{u_n}{2}+\frac{2}{u_n}$.

Points fixes de $g(x)=x/2+2/x$. Montrer $u_n\ge 2$. Convergence vers $2$.

Suite $w_n=\frac{u_n-2}{u_n+2}$ : montrer que c'est une suite géométrique.