BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — SESSION 2022

Exercice 1 — Suites (7 points)

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et, pour tout entier naturel $n$ :

$$u_{n+1}=\frac{1}{3}{u}_n+\frac{4}{3}$$

1. Calculer $u_1$ et $u_2$.

2. Montrer que la limite éventuelle est $\ell =2$.

3. On pose $v_n=u_n-2$.

4. Étudier le sens de variation de $(u_n)$.

5. Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $|u_n-2|<10^{-3}$.

Exercice 2 — Probabilités (7 points)

Une entreprise fabrique des capteurs sur deux lignes A (60%) et B (40%). Taux de défauts : A→3%, B→5%.

1. Construire un arbre pondéré.

2. Calculer $P(A\cap D)$ et $P(B\cap D)$.

3. Calculer $P(D)$ par la formule des probabilités totales.

4. Calculer $P_D(A)$ par la formule de Bayes.

5. $X\sim \mathcal{B}(n,p)$ : déterminer le plus petit $n$ tel que $P(X\ge 1)>0,99$.

Exercice 3 — Géométrie dans l'espace (6 points)

Points : $A(1;0;2)$, $B(3;-1;0)$, $C(2;2;1)$, $D(0;1;3)$.

1. Calculer $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.

2. Trouver un vecteur normal au plan $(ABC)$ et une équation cartésienne.

3. $D$ appartient-il au plan $(ABC)$ ?

4. Déterminer le pied $H$ de la perpendiculaire de $D$ sur $(ABC)$ et calculer $DH$.

5. Calculer le volume du tétraèdre $ABCD$.

Exercice 4 — Fonctions (6 points)

$f(x)=(2x-1)e^{-x}+1$ sur $\mathbb{R}$.

1. Limites en $\pm \infty$ et asymptotes.

2. Calculer $f^{\prime }(x)$ et dresser le tableau de variations.

3. Montrer que $f(x)=0$ a une unique solution $\alpha \in [-1;0]$.

4. Calculer $f^{\prime \prime }(x)$ et trouver le point d'inflexion.

5. Calculer $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)dx$ par intégration par parties.