🎛️ Regarde les tangentes converger vers la racine
Choisis un point de départ x₀ et clique « Itérer » pour voir l'algorithme avancer pas à pas.
Itération n
0
xn (actuel)
2.000000
Cible : √2
1.41421356…
Départ : x₀ = 2. On cherche la racine de f(x) = x² − 2 (donc √2). Clique « Itérer » pour voir Newton converger.
🧮 Calculer √2 sans calculatrice — la question millénaire
Tu veux calculer √2 à la main. Tu sais que c'est entre 1 et 2 (puisque 1² = 1 et 2² = 4). En fait, c'est entre 1.4 et 1.5 (puisque 1.4² = 1.96 et 1.5² = 2.25). Avec patience, tu peux raffiner : 1.41, 1.414, 1.4142… Mais ça prend des heures pour gagner quelques décimales.
En 1669, Isaac Newton publie une idée géniale. Au lieu d'encadrer la racine en rétrécissant un intervalle, on va glisser sur les tangentes de la courbe. Et la vitesse de convergence devient spectaculaire : à chaque itération, le nombre de décimales correctes double.
Performance Newton sur √2 (5 décimales suffisent → on en aura 16) :
- x₀ = 2.000000000000000
- x₁ = 1.500000000000000
- x₂ = 1.416666666666667
- x₃ = 1.414215686274510
- x₄ = 1.414213562374690 ← 12 décimales correctes
- x₅ = 1.414213562373095 ← exact à la précision machine !
💡 L'idée géniale : remplacer la courbe par sa tangente
On veut résoudre f(x) = 0. La courbe est compliquée. Mais autour d'un point xn, on peut l'approximer par sa tangente. Et une tangente est une droite — on sait résoudre n'importe quelle équation linéaire en 5 secondes.
À l'étape n, tu connais xn. Tu calcules f(xn) (pas zéro, malheureusement) et la pente f'(xn) en ce point. L'équation de la tangente est :
y = f(xn) + f'(xn) · (x − xn)
Où cette tangente coupe-t-elle l'axe des x ? Pose y = 0 et résous :
xn+1 = xn − f(xn)f'(xn)
C'est la formule de Newton. À chaque itération, tu remplaces xn par le point où la tangente coupe l'axe. Et tu recommences. La suite converge (très vite) vers la racine.
⚡ La convergence quadratique : pourquoi c'est si rapide
Soit εn = |xn − ℓ| l'erreur à l'étape n (où ℓ est la vraie racine). Newton a une propriété magique : si f''(ℓ) ≠ 0, alors :
εn+1 ≈ K · εn²
Traduction : si à l'étape n tu as 3 décimales correctes (εn ≈ 10⁻³), à l'étape n+1 tu en auras 6 (εn+1 ≈ 10⁻⁶). À l'étape n+2, 12. À l'étape n+3, 24. C'est la convergence quadratique.
📐 Au BAC SM : où Newton apparaît-il ?
La méthode de Newton n'est pas dans le programme officiel comme telle, mais elle est fortement liée à plusieurs notions du chapitre suites récurrentes :
- Suites récurrentes un+1 = g(un) avec g(x) = x − f(x)/f'(x). Si tu vois cette définition, c'est Newton appliqué à f.
- Point fixe : la racine ℓ vérifie g(ℓ) = ℓ. Newton converge ssi |g'(ℓ)| < 1. Justement, g'(ℓ) = 0, d'où la convergence quadratique.
- Encadrement par dichotomie (souvent en exercice). Newton est l'amélioration majeure de la dichotomie : au lieu de diviser par 2 à chaque étape, on divise par bien plus.
⚠️ Quand Newton échoue (et comment le repérer)
Newton n'est pas magique. Il peut diverger ou tomber dans une boucle si :
- f'(xn) = 0 à un moment : la tangente est horizontale, elle ne coupe plus l'axe. Division par 0 → l'algorithme plante.
- Mauvais point de départ : si x₀ est très loin de la racine, Newton peut partir à l'infini ou converger vers une AUTRE racine.
- Fonctions oscillantes (ex : sin(x), tan(x)) : Newton peut basculer en cycle.
- Racines multiples (f'(ℓ) = 0) : la convergence quadratique se dégrade en convergence linéaire (toujours bien, mais perd son avantage).
🎯 Astuce de pro pour calculer √a sans calculatrice
Pour calculer √a, applique Newton à f(x) = x² − a. La formule devient :
xn+1 = 12 · (xn + axn )
C'est la méthode de Héron d'Alexandrie (vers 100 après J.-C.), redécouverte par Newton 1500 ans plus tard. Pour calculer √2 : pars de x₀ = 1, fais 4 itérations, tu as 8 décimales. Pour √10 : pars de x₀ = 3, fais 4 itérations, tu as 7 décimales.
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