🎛️ Trouve le point c où la tangente est parallèle à la corde
Bouge les bornes a et b. Bascule entre Rolle (f(a)=f(b)) et Accroissements Finis (corde quelconque).
f(a), f(b)
Pente de la corde
0.000
Point c trouvé
c = 0.00
f(a) = f(b) = 0 : la corde est horizontale. La tangente au point c = 0 est horizontale aussi — voilà Rolle.
🚗 La situation que tout le monde a vécue
Tu pars de Casablanca à 14h00, tu arrives à Rabat (90 km) à 15h00. Ta vitesse moyenne sur le trajet est de 90 km/h.
Question : à un moment précis du trajet, ton compteur affichait-il forcément 90 km/h ?
L'intuition dit oui. Si tu n'avais jamais touché les 90 km/h, ta moyenne serait soit inférieure (jamais atteint), soit supérieure (jamais redescendu) — donc fausse. Cette évidence intuitive a un nom : le théorème des accroissements finis.
Théorème des Accroissements Finis (Lagrange, 1797)
Si f est continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[, alors il existe au moins un point
c ∈ ]a, b[ tel que :
f'(c) = f(b) − f(a)b − a
🎯 Le théorème de Rolle : le cas particulier le plus pur
Avant Lagrange, il y a Michel Rolle (1652-1719), mathématicien français. Son théorème traite le cas où la vitesse moyenne est nulle :
Théorème de Rolle
Si f est continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[, et f(a) = f(b),
alors il existe c ∈ ]a, b[ tel que f'(c) = 0.
Traduction graphique : si tu pars d'une certaine hauteur et reviens à la même hauteur, alors quelque part entre les deux, ta courbe a une tangente horizontale. Pourquoi ? Parce que tu es forcément monté puis redescendu (ou descendu puis remonté). Au point haut (ou bas), la pente change de signe — donc elle vaut 0 à un moment.
🔗 Rolle ⇒ Accroissements Finis : la même idée déguisée
Le théorème des AF n'est rien d'autre que Rolle appliqué à une fonction astucieuse. Pose :
g(x) = f(x) − f(b) − f(a)b − a ·(x − a) − f(a)
Cette fonction g « redresse » la corde pour qu'elle devienne horizontale. Vérifie : g(a) = 0 et g(b) = 0. Donc Rolle s'applique : il existe c tel que g'(c) = 0.
Or g'(x) = f'(x) − [f(b) − f(a)] / (b − a). L'équation g'(c) = 0 donne exactement : f'(c) = [f(b) − f(a)] / (b − a). C'est tout. Le théorème des AF, c'est Rolle plus un changement de référentiel.
📐 Comment ça tombe au bac ?
Ces théorèmes sont des outils de démonstration, rarement une question directe. Voici les 3 usages classiques qu'il faut connaître par cœur :
1. Encadrer une variation
Si pour tout x ∈ [a, b], m ≤ f'(x) ≤ M, alors par AF :
m(b − a) ≤ f(b) − f(a) ≤ M(b − a)
C'est l'inégalité des accroissements finis, version la plus utilisée au bac. Tombe en suites récurrentes ( = f()) pour majorer | − ℓ| en fonction de | − ℓ|.
2. Démontrer qu'une équation a une solution
Pour montrer que f s'annule sur ]a, b[, deux outils complémentaires :
- TVI (Théorème des Valeurs Intermédiaires) : si f(a) et f(b) sont de signes opposés, alors f s'annule (existence).
- Rolle : si f s'annule en deux points a et b avec f(a) = f(b), alors f' s'annule entre les deux (existence pour la dérivée).
3. Démontrer une inégalité non triviale
Exemple classique : montrer que pour tout x > 0, ln(1 + x) < x.
- Pose f(t) = ln(1 + t) sur [0, x].
- Par AF, il existe c ∈ ]0, x[ tel que .
- Or c > 0, donc 1/(1+c) < 1, donc ln(1+x) < x. ✓
⚠️ Les pièges à éviter
- Vérifier l'hypothèse de dérivabilité. Sur ]a, b[ ouvert, mais continuité requise sur [a, b] fermé. La fonction valeur absolue |x| sur [−1, 1] vérifie f(−1) = f(1) = 1 et est continue, mais Rolle ne s'applique PAS car non dérivable en 0.
- Le théorème dit « il existe » — pas « il existe un unique ». Tu peux avoir plusieurs points c qui marchent. Au bac, on cherche l'existence, pas l'unicité.
- Rolle ne dit pas comment trouver c. C'est un théorème d'existence pur. Si on te demande de calculer c, il faut résoudre f'(x) = (pente moyenne) à la main.
🎓 Lien avec d'autres théorèmes
Rolle et les AF font partie d'une famille de théorèmes d'existence en analyse, tous reposant sur la continuité et/ou la dérivabilité :
- Bolzano-Weierstrass : toute suite bornée admet une sous-suite convergente.
- TVI : continuité ⇒ image d'un intervalle est un intervalle.
- Théorème des bornes : continuité sur fermé borné ⇒ existence d'un max et d'un min.
- Rolle / AF : dérivabilité ⇒ existence d'un point à pente prescrite.
- Théorème de Cauchy (généralisation des AF) : pour deux fonctions f, g, il existe c tel que [f(b) − f(a)] · g'(c) = [g(b) − g(a)] · f'(c).
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