Inégalité et application au calcul de limite

1. Montrer que pour tout $x\in [0;+\infty [$ :

   $-\frac{x^2}{2}\le \ln (1+x)-x\le -\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}.$

2. En déduire $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\ln (1+x)-x}{x^2}$.

Suite harmonique et logarithme

1. Montrer que pour tout $x\in [1;+\infty [$ :

   $\frac{1}{x+1}<\ln (x+1)-\ln (x)<\frac{1}{x}.$

2. On pose, pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $U_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}$. Montrer que $\ln (1+n)<U_n$, puis en déduire $\underset{n\to +\infty }{\lim }{U}_n$.

Encadrement de $V_n$ et limite

On reprend l'encadrement $\frac{1}{x+1}<\ln (x+1)-\ln (x)<\frac{1}{x}$ valable pour $x\ge 1$. On considère la suite définie pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ par :

$V_n=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{2n}.$

1. Montrer que pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ : $\ln \left(\frac{2n+1}{n+1}\right)<V_n<\ln (2)$.

2. En déduire la limite de la suite $(V_n)$.

Énoncé

1. Montrer que pour tout $x\in [0;+\infty [$ :

   $-\frac{x^2}{2}\le \ln (1+x)-x\le -\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}.$

2. En déduire $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\ln (1+x)-x}{x^2}$.

Une entreprise française a vu ses ventes croître selon la relation V(t) = 100 ln(t + 1), où t est le temps en années. Quelle est la vente lorsque t = 3 ans ?

Dans un commerce à Marrakech, le prix d'un article augmente selon la formule $P(t)=P_0\times e^{kt}$, où $P_0=100$ dirhams et $k=0.05$. Quel sera le prix après 5 ans ?

Un investisseur a 5000 dirhams. Il investit ce montant à un taux d'intérêt de 5% par an. Combien d'années faudra-t-il pour que son investissement atteigne 10000 dirhams ?

Une population d'une ville double tous les 10 ans. Si la population initiale est P0, exprimez la population après t années sous forme logarithmique.

Exercice 5 — Asymptote oblique et optimisation

On considère la fonction $h$ définie sur $]0;+\infty [$ par :

$h(x)=x+\ln (x)-x\cdot \ln (x)$

1. Calculer les limites de $h$ en $0^{+}$ et en $+\infty$. (Pour la limite en $+\infty$, on factorisera par $x$.)
2. Montrer que la droite d'équation $y=-x$ est asymptote à la courbe de $h$ quand $x\to +\infty$.
3. Calculer $h^{\prime }(x)$ et l'écrire sous forme factorisée. En déduire le tableau de variations complet de $h$.
4. Montrer que l'équation $h(x)=0$ admet exactement deux solutions sur $]0;+\infty [$. On notera $\alpha$ la solution différente de $1$ (on ne demande pas de la calculer).
5. Application : Une usine de Casablanca modélise son bénéfice journalier (en milliers de dirhams) par $B(x)=h(x)=x+\ln (x)-x\cdot \ln (x)$, où $x>0$ est la quantité produite (en tonnes). Déterminer la quantité $x^{\ast }$ qui maximise le bénéfice, et calculer ce bénéfice maximum.

Exercice 6 — Situation-problème : modélisation et optimisation

Une entreprise de Casablanca analyse l'évolution de sa clientèle. Le nombre de clients (en milliers) après $t$ années de fonctionnement est modélisé par la fonction :

$N(t)=a\cdot \ln (t+1)+b$

où $a$ et $b$ sont des réels, définie pour $t\ge 0$.

On sait que $N(0)=5$ ($5$ $000$ clients au démarrage) et $N(e-1)=8$ ($8$ $000$ clients après $e-1$ ans).

1. Déterminer les valeurs de $a$ et de $b$.
2. On définit le coût moyen par client (en dirhams) par : $C(t)=\frac{1000\cdot t}{N(t)}$ pour $t>0$. Calculer $\underset{t\to +\infty }{\lim }C(t)$. Interpréter.
3. On souhaite minimiser $C(t)$. Montrer que $C^{\prime }(t)=\frac{1000\cdot \left(\ln (t+1)-\frac{t}{t+1}\right)}{(N(t){)}^2}$. Étudier le signe de $C^{\prime }(t)$ en posant $\phi (t)=\ln (t+1)-\frac{t}{t+1}$.
4. Montrer que $\phi$ est strictement croissante sur $[0,+\infty [$ et en déduire que $C$ est strictement croissante sur $]0,+\infty [$. Conclure sur l'existence d'un minimum.
5. L'entreprise décide d'investir quand le taux de croissance instantané du nombre de clients, défini par $\frac{N^{\prime }(t)}{N(t)}$, devient inférieur à $0,1$. Déterminer à partir de quelle année $t^{\ast }$ cela se produit (on exprimera $t^{\ast }$ en fonction de $a$).

Exercice 5 — Étude complète d'une fonction et inégalité

On considère la fonction f définie sur $]0;+\infty [$ par :

$f(x)=\frac{1}{2}{x}^2-x\cdot \ln (x)$

1. Calculer $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$. (On rappelle $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\cdot \ln (x)=0$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln (x)}{x}=0$.)

2. Calculer $f^{\prime }(x)$ et $f^{\prime \prime }(x)$. Dresser le tableau de variations complet de f.

3. Montrer que pour tout $x>0$ : $\ln (x)\le \frac{x^2-1}{2x}$.

4. On définit la suite $(u_n)$ par $u_1=1$ et $u_{n+1}=\sqrt{e\cdot u_n}$ pour tout entier $n\ge 1$.

   1. Montrer par récurrence que $u_n>0$ pour tout $n\ge 1$.
   2. Montrer que $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\sqrt{\frac{e}{u_n}}$. En déduire que si $u_n<e$ alors $u_{n+1}>u_n$ (la suite est croissante tant qu'elle est inférieure à e).
   3. Montrer que la suite $(u_n)$ est majorée par e. (On pourra poser $v_n=\ln (u_n)$ et étudier $(v_n)$.)
   4. Conclure que $(u_n)$ converge et déterminer sa limite.

On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty [$ par $f(x)=x-2+\frac{\ln (x)}{x}$.

1. Déterminer $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$.

2. Montrer que pour tout $x>0$, $f^{\prime }(x)=\frac{x^2+1-\ln (x)}{x^2}$.

3. En posant $g(x)=x^2+1-\ln (x)$, étudier le signe de $g$ sur $]0;+\infty [$ et en déduire le sens de variation de $f$.

4. Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe de $f$ au point d'abscisse $1$.

On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty [$ par $f(x)=x-2+\ln (x)$.

1. Déterminer les limites de $f$ en $0^{+}$ et en $+\infty$.

2. Calculer $f^{\prime }(x)$, étudier son signe et dresser les variations de $f$.

3. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]0;+\infty [$, puis justifier que $1<\alpha <2$.

4. En déduire le signe de $f(x)$ selon les valeurs de $x$.

5. Résoudre dans $]0;+\infty [$ l'équation $(\ln (x){)}^2-\ln (x)-6=0$.

Partie A — Limites par croissances comparées.

Déterminer les limites suivantes :

1. $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln (x)}{x^2}$.

2. $\underset{x\to +\infty }{\lim }(x-\ln (x))$.

3. $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\ln (x)$.

Partie B — Dérivée d'une composée $\ln (u)$.

On considère la fonction $g$ définie sur $]1;+\infty [$ par $g(x)=\ln \left(\frac{x+1}{x-1}\right)$.

4. Justifier que $g$ est bien définie sur $]1;+\infty [$, puis calculer $g^{\prime }(x)$.

5. En déduire le sens de variation de $g$ sur $]1;+\infty [$.

1. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln x}{x}$ (en utilisant le changement de variable $x=e^t$).

2. En déduire $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{(\ln x{)}^2}{x}$.

Soit $f(x)=\ln (x^2+1)$ définie sur $\mathbb{R}$.

1. Montrer que $f$ est paire.

2. Calculer $f^{\prime }(x)$ et dresser le tableau de variations.

3. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$.