BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — SESSION 2021

MATHÉMATIQUES — Métropole — 24 juin 2021 (Jour 2) | 4 heures | 20 points

Exercice 1 — Étude d'une fonction (5 points)

$f(x)=(2x-1)e^{-x}$.

1. Limites. 2. Dérivée. 3. Tableau de variations. 4. Solution de $f(x)=0$.

5.a. Tangente en $x=1$. 5.b. $\underset{0}{\overset{2}{\int }}f(x)dx$.

Exercice 2 — Nombres complexes (5 points)

$z_A=1+i\sqrt{3}$, $z_B=-2$, $z_C=1-i\sqrt{3}$.

Formes trigonométriques. Nature du triangle $ABC$. Similitude $\phi$ envoyant $A\to B$ et $B\to C$. Calculer $z_A^3$.

Exercice 3 — Probabilités (5 points)

Stylos, $p=8\%$. $X\sim \mathcal{B}(20,0,08)$. $D\sim \mathcal{N}(18,9)$.

Calculs binomiaux, plus petit $n$, probabilités normales, quantile 95%.

Exercice 4 — Suites (5 points)

$u_0=0$, $u_{n+1}=\frac{u_n+3}{u_n+5}$.

Points fixes : ${\ell }^2+4\ell -3=0$. Montrer $0\le u_n\le {\ell }_2$. Monotonie. Convergence vers ${\ell }_2=-2+\sqrt{7}$.

Suite géométrique $v_n=(u_n-{\ell }_2)/(u_n-{\ell }_1)$.