📄 Mémento Maths Compl.

🔁 Logarithme & exponentielle

Tout le chapitre sur une page : formules, méthode, pièges. À lire 5 min avant un contrôle.

📐Formules clés

Relation réciproque

$ln (e^{x}) = x et e^{l n x} = x$

Ex :

e^{l n 5} = 5

Log d'un produit

$ln (ab) = ln a + ln b$

Ex :

ln 6 = ln 2 + ln 3

Log d'un quotient

$ln (\frac{a}{b}) = ln a - ln b$

Ex :

ln (\frac{1}{e}) = - 1

Log d'une puissance

$ln (a^{n}) = n ln a$

Ex :

ln (8) = 3 ln 2

Produit d'exponentielles

$e^{a} \times e^{b} = e^{a + b}$

Ex :

e^{2} \times e^{3} = e^{5}

Dérivées clés

$(ln x)^{'} = \frac{1}{x} (e^{x})^{'} = e^{x}$

Ex :

(ln (2 x))^{'} = \frac{1}{x}

Résolution d'équation

$e^{x} = k ⟺ x = ln k (k > 0)$

Ex :

e^{x} = 7 ⟺ x = ln 7

⚠️Pièges à éviter

$ln (a + b) \neq = ln a + ln b$ : aucune formule pour le log d'une somme.
$ln x$ n'existe que pour $x > 0$ : toujours vérifier le domaine avant de résoudre.
Quand on multiplie par $ln k < 0$ (cas $0 < k < 1$ ) dans une inéquation, le sens de l'inégalité change.

💡

À retenir

$\ln$ transforme produits en sommes et $\exp$ fait l'inverse : ces deux fonctions sont strictement croissantes et réciproques l'une de l'autre.

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