Fiche de révision — Maths Complémentaires

Fonctions, log-exp, intégrales et lois de probabilité : l'essentiel de l'option · lumaths.com

📈 Fonctions : dérivation & convexité 📄 mémento →

Dérivée d'un produit

$(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$

Ex :

(x^{2} e^{x})^{'} = 2 x e^{x} + x^{2} e^{x}

Dérivée d'un quotient

$(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$

Ex :

(\frac{x}{x + 1})^{'} = \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}}

Dérivée d'une composée

$(f (u))^{'} = u^{'} \times f^{'} (u)$

Ex :

(e^{3 x})^{'} = 3 e^{3 x}

Sens de variation

$f^{'} > 0 \Rightarrow f croissante$

Ex :

f^{'} (x) = 2 x > 0

sur

] 0; + \infty [

Convexité

$f^{''} > 0 \Rightarrow f convexe$

Ex :

f (x) = x^{2}, f^{''} (x) = 2 > 0

Point d'inflexion

$f^{''} s’annule en changeant de signe$

Ex :

f (x) = x^{3}

x = 0

Tangente en a

$y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$

Ex :

f (x) = x^{2}, a = 1 : y = 2 x - 1

Pièges à éviter

✗ Confondre $f^{'}$ (variations) et $f^{''}$ (convexité) : le signe de $f^{''}$ ne dit rien du sens de variation.
✗ Oublier le facteur $u^{'}$ dans la dérivée d'une composée (ex. $(e^{3 x})^{'} \neq = e^{3 x}$ ).
✗ Un point d'inflexion exige que $f^{''}$ change de signe : $f^{''} (a) = 0$ ne suffit pas.

Astuce

Convexe = courbe au-dessus de ses tangentes (forme en cuvette $\smile$) ; concave = en dôme $\frown$. Le signe de $f''$ tranche.

🔁 Logarithme & exponentielle 📄 mémento →

Relation réciproque

$ln (e^{x}) = x et e^{l n x} = x$

Ex :

e^{l n 5} = 5

Log d'un produit

$ln (ab) = ln a + ln b$

Ex :

ln 6 = ln 2 + ln 3

Log d'un quotient

$ln (\frac{a}{b}) = ln a - ln b$

Ex :

ln (\frac{1}{e}) = - 1

Log d'une puissance

$ln (a^{n}) = n ln a$

Ex :

ln (8) = 3 ln 2

Produit d'exponentielles

$e^{a} \times e^{b} = e^{a + b}$

Ex :

e^{2} \times e^{3} = e^{5}

Dérivées clés

$(ln x)^{'} = \frac{1}{x} (e^{x})^{'} = e^{x}$

Ex :

(ln (2 x))^{'} = \frac{1}{x}

Résolution d'équation

$e^{x} = k ⟺ x = ln k (k > 0)$

Ex :

e^{x} = 7 ⟺ x = ln 7

Pièges à éviter

✗ $ln (a + b) \neq = ln a + ln b$ : aucune formule pour le log d'une somme.
✗ $ln x$ n'existe que pour $x > 0$ : toujours vérifier le domaine avant de résoudre.
✗ Quand on multiplie par $ln k < 0$ (cas $0 < k < 1$ ) dans une inéquation, le sens de l'inégalité change.

Astuce

$\ln$ transforme produits en sommes et $\exp$ fait l'inverse : ces deux fonctions sont strictement croissantes et réciproques l'une de l'autre.

∫ Calcul intégral 📄 mémento →

Définition par primitive

$a \int b f (x) d x = F (b) - F (a)$

Ex :

0 \int 1 2 x d x = [x^{2}]_{0}^{1} = 1

Primitive d'une puissance

$\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$

Ex :

\int x^{2} d x = \frac{x ^{3}}{3} + C

Primitive de l'inverse

$\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C$

Ex :

1 \int e \frac{1}{x} d x = 1

Primitive de l'exponentielle

$\int e^{x} d x = e^{x} + C$

Ex :

0 \int 1 e^{x} d x = e - 1

Linéarité

$a \int b (α f + β g) = α a \int b f + β a \int b g$

Ex :

0 \int 1 (3 x + e^{x}) d x

Relation de Chasles

$a \int b f + b \int c f = a \int c f$

Ex : découper en

[a; b]

[b; c]

Valeur moyenne

$μ = \frac{1}{b - a} a \int b f (x) d x$

Ex :

\frac{1}{2} 0 \int 2 x d x = 1

Pièges à éviter

✗ Inverser les bornes change le signe : $a \int b f = - b \int a f$ .
✗ Une intégrale peut être négative ; l'aire géométrique se calcule avec $∣ f ∣$ ou en séparant les signes.
✗ Ne pas oublier la constante $+ C$ pour une primitive (mais elle disparaît dans une intégrale définie).

Astuce

Toute intégrale se ramène à une primitive : $\int_a^b f = F(b)-F(a)$. Maîtriser les primitives usuelles (puissance, $1/x$, $e^x$) suffit pour l'option.

🎲 Probabilités & lois 📄 mémento →

Loi binomiale

$P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$

Ex :

n = 3, p = 0, 5, k = 2

Espérance binomiale

$E (X) = n p$

Ex :

n = 10, p = 0, 2 : E (X) = 2

Probabilité conditionnelle

$P_{A} (B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$

Ex :

P_{A} (B) = \frac{0 , 2}{0 , 5} = 0, 4

Formule des probabilités totales

$P (B) = P (A \cap B) + P (\overline{A} \cap B)$

Ex : via un arbre pondéré

Loi uniforme continue

$P (c \leq X \leq d) = \frac{d - c}{b - a}$

Ex : sur

[0; 4] : P (1 \leq X \leq 3) = \frac{1}{2}

Loi normale centrée réduite

$P (- 1, 96 \leq Z \leq 1, 96) \approx 0, 95$

Ex : intervalle à

95%

Espérance (loi discrète)

$E (X) = i \sum x_{i} P (X = x_{i})$

Ex :

E (X) = 1 \times 0, 3 + 2 \times 0, 7

Pièges à éviter

✗ Bien identifier l'événement $X = k$ vs $X \leq k$ : la calculatrice donne $P (X \leq k)$ (cumulée).
✗ La loi binomiale exige des épreuves indépendantes, identiques et à deux issues : vérifier ce schéma de Bernoulli.
✗ Pour une loi continue, $P (X = c) = 0$ : seuls les intervalles ont une probabilité non nulle.

Astuce

Discret = on somme des probabilités (binomiale) ; continu = on calcule une aire sous la courbe (uniforme, normale). Toujours commencer par identifier la loi en jeu.

Fiche créée par Lumaths · Plateforme de maths pour les élèves