📄 Mémento Maths Compl.

📈 Fonctions : dérivation & convexité

Tout le chapitre sur une page : formules, méthode, pièges. À lire 5 min avant un contrôle.

📐Formules clés

Dérivée d'un produit

$(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$

Ex :

(x^{2} e^{x})^{'} = 2 x e^{x} + x^{2} e^{x}

Dérivée d'un quotient

$(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$

Ex :

(\frac{x}{x + 1})^{'} = \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}}

Dérivée d'une composée

$(f (u))^{'} = u^{'} \times f^{'} (u)$

Ex :

(e^{3 x})^{'} = 3 e^{3 x}

Sens de variation

$f^{'} > 0 \Rightarrow f croissante$

Ex :

f^{'} (x) = 2 x > 0

sur

] 0; + \infty [

Convexité

$f^{''} > 0 \Rightarrow f convexe$

Ex :

f (x) = x^{2}, f^{''} (x) = 2 > 0

Point d'inflexion

$f^{''} s’annule en changeant de signe$

Ex :

f (x) = x^{3}

x = 0

Tangente en a

$y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$

Ex :

f (x) = x^{2}, a = 1 : y = 2 x - 1

⚠️Pièges à éviter

Confondre $f^{'}$ (variations) et $f^{''}$ (convexité) : le signe de $f^{''}$ ne dit rien du sens de variation.
Oublier le facteur $u^{'}$ dans la dérivée d'une composée (ex. $(e^{3 x})^{'} \neq = e^{3 x}$ ).
Un point d'inflexion exige que $f^{''}$ change de signe : $f^{''} (a) = 0$ ne suffit pas.

💡

À retenir

Convexe = courbe au-dessus de ses tangentes (forme en cuvette $\smile$) ; concave = en dôme $\frown$. Le signe de $f''$ tranche.

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