Une suite croissante et majorée par récurrence

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et, pour tout entier $n⩾0$ :

$$u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}.$$

1. Calculer $u_1$ et $u_2$ (valeurs exactes, puis arrondies au centième).

2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n⩾0$, on a $0⩽u_n⩽2$.

3. Montrer que, pour tout entier $n⩾0$, $u_{n+1}-u_n=\frac{u_n+2-u_n^2}{u_{n+1}+u_n}$, puis en déduire que la suite $(u_n)$ est croissante.