Suite homographique et suite auxiliaire

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et, pour tout entier $n⩾0$ :

$$u_{n+1}=\frac{3u_n-1}{u_n+1}.$$

1. Calculer $u_1$ et $u_2$.

2. On admet que, pour tout entier $n⩾0$, $u_n\ne 1$. On pose $v_n=\frac{1}{u_n-1}$. Démontrer que la suite $(v_n)$ est arithmétique, et préciser sa raison et son premier terme $v_0$.

3. Exprimer $v_n$, puis $u_n$, en fonction de $n$.

4. En déduire la limite de la suite $(u_n)$.