Algorithme de seuil et somme des termes

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et, pour tout entier $n⩾0$ :

$$u_{n+1}=0,5u_n+3.$$

1. On pose $w_n=u_n-6$. Démontrer que $(w_n)$ est géométrique, préciser sa raison et $w_0$, puis exprimer $u_n$ en fonction de $n$.

2. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.

3. On souhaite déterminer le plus petit entier $n$ tel que $u_n⩾5,99$. Recopier et compléter l'algorithme suivant pour qu'il renvoie cet entier (les pointillés sont à remplacer) :

$$\begin{array}{l}n\leftarrow 0\\ u\leftarrow 0\\ \text{Tant que }\dots \text{ faire}\\ u\leftarrow \dots \\ n\leftarrow n+1\\ \text{Fin Tant que}\end{array}$$

4. Déterminer, par le calcul, la plus petite valeur de $n$ renvoyée par cet algorithme.

5. On pose $S_n=u_0+u_1+\cdots +u_n$. Exprimer $S_n$ en fonction de $n$.