Suite auxiliaire géométrique

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Énoncé

Soit $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 1$ et $u_{n + 1} = \frac{1}{2} u_{n} + 3$ . On pose $v_{n} = u_{n} - 6$ .

1. Démontrer que $(v_{n})$ est géométrique. Préciser sa raison et $v_{0}$ .

2. En déduire $u_{n}$ en fonction de $n$ , puis retrouver $n \to + \infty lim u_{n}$ .

— clique pour révéler

1 Indice 1

Pour montrer que $(v_n)$ est geometrique, exprime $v_{n+1}$ en fonction de $u_{n+1}$, puis remplace $u_{n+1}$ par sa formule de recurrence.

2 Indice 2

Factorise l'expression obtenue pour faire apparaitre $v_n = u_n - 6$ et identifier la raison.

3 Indice 3

Une fois $v_n$ exprime en fonction de $n$, reviens a $u_n$ en utilisant la relation $u_n = v_n + 6$, puis etudie la limite de la partie geometrique.

Bloqué sur cet exercice ?

Léo peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points