Récurrence, encadrement et convergence d'une suite récurrente

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$ :

$$u_{n+1}=\sqrt{3u_n+4}.$$

1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a $0⩽u_n⩽4$.

2. Étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$ et en déduire que la suite $(u_n)$ est croissante. (On pourra étudier la fonction associée ou comparer $u_{n+1}^2$ et $u_n^2$.)

3. En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.

4. Déterminer la limite $\ell$ de la suite $(u_n)$.