Plan d'épargne : suite géométrique et somme de termes

Le 1er janvier 2025, Inès place une somme sur un compte rémunéré. On note $u_n$ le capital disponible (en euros) le 1er janvier de l'année $2025+n$. Ainsi $u_0=800$. Chaque année, le capital augmente de $4\%$.

1. Justifier que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=1,04u_n$. En déduire la nature de la suite $(u_n)$ et préciser sa raison.

2. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.

3. Calculer le capital disponible le 1er janvier 2030 (arrondi au centime).

4. On pose $S_n=u_0+u_1+\cdots +u_n$, la somme des capitaux relevés chaque 1er janvier de l'année $2025$ à l'année $2025+n$. Exprimer $S_n$ en fonction de $n$, puis calculer $S_9$ (arrondi au centime).

5. Déterminer $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n$.