Suite auxiliaire géométrique pour une relation affine

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Énoncé

On considère la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 5$ et, pour tout entier naturel $n$ :

$u_{n + 1} = \frac{1}{3} u_{n} + 2.$

On définit la suite auxiliaire $(v_{n})$ par : pour tout entier naturel $n$ , $v_{n} = u_{n} - 3$ .

1. Démontrer que la suite $(v_{n})$ est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.

2. Exprimer $v_{n}$ puis $u_{n}$ en fonction de $n$ .

3. Déterminer $n \to + \infty lim u_{n}$ . Interpréter le résultat à l'aide de la suite $(v_{n})$ .

4. On pose $T_{n} = v_{0} + v_{1} + \dots + v_{n}$ . Exprimer $T_{n}$ en fonction de $n$ , puis déterminer $n \to + \infty lim T_{n}$ .

5. En déduire l'expression de $S_{n} = u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n}$ en fonction de $n$ .

— clique pour révéler

1 Indice 1

Calcule $v_{n+1} = u_{n+1} - 3$ et remplace $u_n$ par $v_n + 3$.

2 Indice 2

Une fois $v_{n+1} = q\\,v_n$ obtenu, ecris $v_n = v_0 q^{\\,n}$ puis $u_n = v_n + 3$.

3 Indice 3

Pour $T_n$, utilise la somme geometrique $v_0 \\frac{1 - q^{\\,n+1}}{1-q}$ ; puis $S_n = T_n + 3(n+1)$.

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