Soit ( u n ) définie par u 0 = 2 et u n + 1 = u n + 3 5 u n − 1 . On pose f ( x ) = x + 3 5 x − 1 sur [ 1 , + ∞ [ . Montrer que f est strictement croissante sur [ 1 , + ∞ [ et que f ([ 1 , + ∞ [ ) ⊂ [ 1 , + ∞ [ . Montrer que f ( x ) − x = − x + 3 ( x − 1 ) 2 , en déduire que f ( x ) ≤ x pour x ≥ 1 . Montrer que u n > 1 , que ( u n ) est décroissante et convergente. Calculer sa limite. Soit v n = u n − 1 1 . Montrer que ( v n ) est arithmétique de raison 4 1 et exprimer u n .

Suite avec changement 1/u_n — suite arithmétique (BAC)

Intermédiaire Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Énoncé

Soit $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 2$ et $u_{n + 1} = \frac{5 u _{n} - 1}{u _{n} + 3}$ . On pose $f (x) = \frac{5 x - 1}{x + 3}$ sur $[1, + \infty [$ .

Montrer que $f$ est strictement croissante sur $[1, + \infty [$ et que $f ([1, + \infty [) \subset [1, + \infty [$ .
Montrer que $f (x) - x = - \frac{( x - 1 ) ^{2}}{x + 3}$ , en déduire que $f (x) \leq x$ pour $x \geq 1$ .
Montrer que $u_{n} > 1$ , que $(u_{n})$ est décroissante et convergente. Calculer sa limite.
Soit $v_{n} = \frac{1}{u _{n} - 1}$ . Montrer que $(v_{n})$ est arithmétique de raison $\frac{1}{4}$ et exprimer $u_{n}$ .

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