Soit ( u n ) définie par u 0 = 2 et u n + 1 = 2 1 u n + 7 1 . Montrer que u n ≥ 7 2 pour tout n. Montrer que u n + 1 − u n = − 2 1 ( u n − 7 2 ) , en déduire que ( u n ) est décroissante et convergente. Soit v n = u n − 7 2 . Calculer v 0 , montrer que ( v n ) est géométrique de raison 2 1 . En déduire l'expression de u n en fonction de n et calculer sa limite.

Suite récurrente avec point fixe (BAC 2019)

Intermédiaire Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Soit ( $u_{n}$ ) définie par $u_{0} = 2$ et $u_{n + 1} = \frac{1}{2} u_{n} + \frac{1}{7}$ .

Montrer que $u_{n} \geq \frac{2}{7}$ pour tout n. Montrer que $u_{n + 1} - u_{n} = - \frac{1}{2} (u_{n} - \frac{2}{7})$ , en déduire que ( $u_{n}$ ) est décroissante et convergente.
Soit $v_{n} = u_{n} - \frac{2}{7}$ . Calculer $v_{0}$ , montrer que ( $v_{n}$ ) est géométrique de raison $\frac{1}{2}$ .
En déduire l'expression de $u_{n}$ en fonction de n et calculer sa limite.

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