Partie 1. Soit ( u n ) définie par u 0 = 4 et u n + 1 = 4 1 u n + 6 . Montrer par récurrence que u n = 8 − ( 4 1 ) n − 1 pour tout n ≥ 1 . Partie 2. Soit ( v n ) définie par v 0 = 1 et v n + 1 = v n 2 + 2 n + 3 . Montrer que ( v n 2 ) est arithmétique, puis exprimer v n en fonction de n .

Suite récurrente — terme général par changement de variable

Facile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Partie 1. Soit $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 4$ et $u_{n + 1} = \frac{1}{4} u_{n} + 6$ .

Montrer par récurrence que $u_{n} = 8 - (\frac{1}{4})^{n - 1}$ pour tout $n \geq 1$ .

Partie 2. Soit $(v_{n})$ définie par $v_{0} = 1$ et $v_{n + 1} = v_{n}^{2} + 2 n + 3$ .

Montrer que $(v_{n}^{2})$ est arithmétique, puis exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$ .

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