Suite u_{n+1}=u_n/(3−2u_n) — changement 1/u_n (Session 2021)

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=\frac{1}{2}$ et $u_{n+1}=\frac{u_n}{3-2u_n}$.

1. Calculer $u_1$.
2. Montrer par récurrence que $0<u_n\le \frac{1}{2}$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.
3. Montrer que $\frac{u_{n+1}}{u_n}\le \frac{1}{2}$ et déduire la monotonie de $(u_n)$.
4. Montrer que $0<u_n\le {\left(\frac{1}{2}\right)}^{n+1}$, en déduire la limite de $(u_n)$.
5. Vérifier que $\frac{1}{u_{n+1}}-1=3\left(\frac{1}{u_n}-1\right)$. En déduire l'expression exacte de $u_n$.