Suites arithmétique et géométrique imbriquées — problème complet

On définit deux suites ($a_n$) et ($b_n$) par : $a_0=1$, $b_0=2$, et pour tout $n\in \mathbb{N}$ :

• $a_{n+1}=a_n+b_n$
• $b_{n+1}=2b_n$

Partie A — Étude de ($b_n$)

1. Montrer que ($b_n$) est une suite géométrique. En déduire $b_n$ en fonction de n.

Partie B — Étude de ($a_n$)

2. En substituant l'expression de $b_n$, écrire $a_{n+1}=a_n+2^{n+1}$.
3. En utilisant la relation de la question 2, montrer que pour tout $n\ge 1$ :

$a_n=a_0+\sum _{k=1}^n{2}^k$ (somme pour k allant de 1 à n).

4. En déduire que $a_n=2^{n+1}-1$ pour tout $n\in \mathbb{N}$. (On rappelle que $\sum _{k=0}^n{2}^k$ vaut $2^{n+1}-1$.)

Partie C — Application et comparaison

5. Montrer que, pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $a_n<b_n$.
6. Soit $S_n=a_0+a_1+\dots +a_n$. Calculer $S_n$ en fonction de n. (On rappelle que $\sum _{k=0}^n{2}^k$ vaut $2^{n+1}-1$.)
7. Déterminer le plus petit entier n tel que $S_n\ge 1000$.