Situation-problème : épargne et suite géométrique — Niveau difficile — Bac Sénégal 2023

Exercice 5 — Situation-problème

Un habitant de Casablanca place une somme de 10 000 dirhams dans un compte bancaire à intérêts composés au taux annuel de 4%. On note $C_n$ le capital (en dirhams) disponible au bout de n années.

1. Exprimer $C_{n+1}$ en fonction de $C_n$. En déduire la nature de la suite $(C_n)$ et son terme général.
2. Calculer $C_{10}$ (arrondir à l'unité). Interpréter le résultat.
3. Au bout de combien d'années le capital aura-t-il au moins doublé ? (On utilisera le fait que $\log (1,04)\approx 0,01703$ et $\log (2)\approx 0,30103$.)
4. À partir de la 2ème année, le même habitant décide de déposer en plus 500 dirhams supplémentaires à la fin de chaque année. On note $D_n$ le capital total au bout de n années (pour $n\ge 1$), avec $D_1=C_1$.
   a) Montrer que $D_{n+1}=1,04\times D_n+500$ pour tout $n\ge 1$.
   b) On pose $E_n=D_n+k$ où k est une constante réelle à déterminer pour que $(E_n)$ soit géométrique.
   c) En déduire $D_n$ en fonction de n, puis calculer $D_{20}$ (arrondir à l'unité).