Suite arithmético-géométrique et situation-problème (Casablanca)

Exercice 4 — Placement bancaire à Casablanca

Une entreprise casablancaise place un capital sur un compte bancaire. Au début de chaque année, elle dépose 5 000 dirhams supplémentaires. Le compte est rémunéré à un taux annuel de 4%.

On note $C_n$ le capital (en dirhams) disponible sur le compte après la n-ième année (n $\ge$ 1). Le capital initial (avant tout dépôt et toute rémunération) est $C_0=10000$ dirhams.

Le capital évolue selon la relation : $C_{n+1}=1,04\times C_n+5000$.

1. Calculer $C_1$ et $C_2$.
2. On pose $D_n=C_n+a$, où a est un réel à déterminer, de sorte que $(D_n)$ soit une suite géométrique.
   a. Déterminer la valeur de a.
   b. Vérifier que $(D_n)$ est bien géométrique et préciser sa raison.
   c. Exprimer $D_n$ puis $C_n$ en fonction de n.
3. Déterminer au bout de combien d'années le capital dépassera 100 000 dirhams. On admettra que $\log (1,04)\approx 0,0170$ et $\log (3,25)\approx 0,512$.