Situation-problème : épargne bancaire à Casablanca — niveau difficile

Exercice 5

Un particulier de Casablanca ouvre un compte d'épargne dans une banque. Il dépose initialement 5 000 dirhams. Chaque année, la banque applique un taux d'intérêt annuel de 4 % sur le capital disponible en début d'année, et le particulier effectue un versement supplémentaire de 1 000 dirhams en fin d'année.

On note $C_n$ le capital (en dirhams) disponible sur le compte après n années (et après le versement de la n-ième année), avec $C_0=5000$.

1. Exprimer $C_{n+1}$ en fonction de $C_n$. En déduire que $C_{n+1}=1,04\times C_n+1000$.
2. On pose $D_n=C_n+\alpha$, où $\alpha$ est un réel à déterminer de sorte que $(D_n)$ soit une suite géométrique. Déterminer $\alpha$, la raison et le premier terme de $(D_n)$.
3. Exprimer $C_n$ en fonction de n.
4. Calculer le capital au bout de 10 ans. On donnera la valeur approchée à 1 dirham près (on admettra que $1,04^{10}\approx 1,4802$).
5. Au bout de combien d'années le capital dépasse-t-il 50 000 dirhams pour la première fois ? (On admettra que $\ln (1,04)\approx 0,0392$.)