Suites imbriquées — convergence et point fixe — Niveau difficile

Exercice 5

Soit f la fonction définie sur $[1;+\infty [$ par $f(x)=\frac{x+3}{x+1}$.

On considère la suite $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par $a_0=1$ et $a_{n+1}=f(a_n)$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

1. Résoudre l'équation $f(x)=x$ sur $[1;+\infty [$. On notera $\ell$ la solution obtenue.
2. Montrer que pour tout $x\ge 1$, on a $1\le f(x)\le 2$.
3. Montrer par récurrence que pour tout $n\in \mathbb{N}$, $1\le a_n\le 2$.
4. Étudier le signe de $a_{n+1}-a_n$ selon la position de $a_n$ par rapport à $\ell$. Que peut-on en conclure sur le comportement de la suite autour de $\ell$ ?
5. On pose $b_n=a_n-\ell$. Montrer que $|b_{n+1}|\le k|b_n|$ pour une constante $k\in ]0;1[$ que l'on déterminera. En déduire que $\underset{n\to +\infty }{\lim }{a}_n=\ell$.