On considère la suite ( u n ) définie par : u 0 = 4 et u n + 1 = 3 1 × u n + 2 , pour tout n ∈ N . Point fixe : Déterminer le réel ℓ tel que ℓ = 3 1 ℓ + 2 . Suite auxiliaire : On pose v n = u n − ℓ pour tout n ∈ N . Montrer que ( v n ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. Exprimer v n puis u n en fonction de n . Démonstration par récurrence : Montrer par récurrence que, pour tout n ∈ N : u n > 3 . Monotonie et convergence : Étudier le signe de u n + 1 − u n et en déduire le sens de variation de ( u n ). En déduire que ( u n ) converge et déterminer sa limite.

Suite géométrique, récurrence et convergence

Intermédiaire Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

On considère la suite ( $u_{n}$ ) définie par :

$u_{0} = 4$ et $u_{n + 1} = \frac{1}{3} \times u_{n} + 2$ , pour tout $n \in N$ .

Point fixe : Déterminer le réel $ℓ$ tel que $ℓ = \frac{1}{3} ℓ + 2$ .
Suite auxiliaire : On pose $v_{n} = u_{n} - ℓ$ pour tout $n \in N$ .
1. Montrer que ( $v_{n}$ ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
2. Exprimer $v_{n}$ puis $u_{n}$ en fonction de $n$ .
Démonstration par récurrence : Montrer par récurrence que, pour tout $n \in N$ : $u_{n} > 3$ .
Monotonie et convergence :
1. Étudier le signe de $u_{n + 1} - u_{n}$ et en déduire le sens de variation de ( $u_{n}$ ).
2. En déduire que ( $u_{n}$ ) converge et déterminer sa limite.

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