Contrôle qualité par échantillon : loi binomiale, P(X≥k) et règle de décision

Une chaîne de production fabrique des résistances électroniques. On admet que chaque résistance est défectueuse avec une probabilité $p=0,05$, indépendamment des autres. Pour contrôler la production, on prélève au hasard un échantillon de $20$ résistances. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de résistances défectueuses dans l'échantillon.

1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

2. Calculer la probabilité qu'aucune résistance ne soit défectueuse. Arrondir au millième.

3. Calculer $P(X⩾1)$, probabilité qu'au moins une résistance soit défectueuse. Arrondir au millième.

4. Le service qualité applique la règle de décision suivante : le lot est accepté si l'échantillon contient au plus $2$ résistances défectueuses, et rejeté sinon. Calculer la probabilité que le lot soit rejeté. Arrondir au millième.

5. Déterminer l'espérance $E(X)$ et interpréter ce résultat.