Probabilités conditionnelles et loi binomiale dans un test de dépistage

Une maladie touche $2\%$ d'une population. Un test de dépistage est mis au point. Lorsqu'une personne est malade, le test est positif dans $96\%$ des cas (sensibilité). Lorsqu'une personne n'est pas malade, le test est négatif dans $95\%$ des cas (spécificité).

On choisit une personne au hasard et on lui fait passer le test. On note :

$\bullet$ $M$ l'événement « la personne est malade » ;

$\bullet$ $T$ l'événement « le test est positif ».

Partie A.

1. Traduire les données par des probabilités, puis construire l'arbre pondéré.

2. Montrer que $P(T)=0,0682$.

3. Calculer la valeur prédictive positive $P_T(M)$, c'est-à-dire la probabilité qu'une personne au test positif soit réellement malade. Arrondir au millième. Commenter.

Partie B.

On sélectionne désormais, de façon indépendante, $50$ personnes au hasard dans cette population et on les teste. On note $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de tests positifs parmi ces $50$ tests.

4. Justifier que $Y$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

5. Calculer $E(Y)$ et interpréter ce résultat.

6. Calculer la probabilité qu'au plus un test soit positif parmi les $50$. Arrondir au millième.