Deux ateliers et test qualité : probabilités totales et formule de Bayes

Une usine fabrique des smartphones dans deux ateliers. L'atelier $A$ produit $40\%$ des appareils et l'atelier $B$ produit les $60\%$ restants. À la sortie de chaque atelier, un appareil peut présenter un défaut : $5\%$ des appareils de l'atelier $A$ sont défectueux, contre $10\%$ de ceux de l'atelier $B$.

On choisit un appareil au hasard dans la production totale. On note :

$\bullet$ $A$ l'événement « l'appareil provient de l'atelier $A$ » ;

$\bullet$ $D$ l'événement « l'appareil est défectueux ».

1. Traduire l'énoncé par $P(A)$, $P_A(D)$ et $P_B(D)$, puis construire l'arbre pondéré de la situation.

2. Calculer $P(A\cap D)$ et $P(B\cap D)$.

3. En déduire, à l'aide de la formule des probabilités totales, la probabilité $P(D)$ qu'un appareil soit défectueux.

4. Un appareil prélevé au hasard est défectueux. Quelle est la probabilité qu'il provienne de l'atelier $A$ ? Arrondir au centième.