Tournoi en trois manches : succession d'épreuves indépendantes et probabilité conditionnelle

Lors d'un tournoi, une joueuse d'échecs dispute un match en trois manches. On suppose que les manches sont indépendantes et que, à chaque manche, la joueuse gagne avec la probabilité $0,6$ et perd avec la probabilité $0,4$ (il n'y a pas de nulle). La joueuse remporte le match si elle gagne au moins deux des trois manches.

On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de manches gagnées sur les trois.

1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

2. Montrer que la probabilité que la joueuse remporte le match est $P(X⩾2)=0,648$.

3. Calculer la probabilité qu'elle gagne au moins une manche sur les trois. Arrondir au millième.

4. On sait que la joueuse a remporté le match. Quelle est la probabilité qu'elle ait gagné les trois manches ? Arrondir au centième.

5. On considère uniquement les deux premières manches. Calculer la probabilité que la joueuse gagne exactement une de ces deux manches, et vérifier l'indépendance en comparant $P(G_1\cap G_2)$ au produit $P(G_1)\times P(G_2)$, où $G_i$ désigne l'événement « gagner la manche $i$ ».