Arbre pondéré, probabilités totales et formule de Bayes

Une usine fabrique des composants électroniques sur deux chaînes de production. La chaîne $A$ produit $70\%$ des composants, la chaîne $B$ produit le reste. On constate que $4\%$ des composants issus de la chaîne $A$ sont défectueux, contre $9\%$ de ceux issus de la chaîne $B$.

On prélève un composant au hasard dans la production totale. On note :

$\bullet$ $A$ l'événement « le composant provient de la chaîne $A$ » ;

$\bullet$ $B$ l'événement « le composant provient de la chaîne $B$ » ;

$\bullet$ $D$ l'événement « le composant est défectueux ».

1. Donner les valeurs de $P(A)$, $P(B)$, $P_A(D)$ et $P_B(D)$, puis construire l'arbre pondéré décrivant la situation.

2. Calculer $P(A\cap D)$ et $P(B\cap D)$.

3. En déduire la probabilité $P(D)$ qu'un composant prélevé au hasard soit défectueux.

4. Un composant prélevé se révèle défectueux. Quelle est la probabilité qu'il provienne de la chaîne $B$ ? Arrondir au millième.