Dépistage, probabilités totales et indépendance

Une maladie touche $4\%$ d'une population. On dispose d'un test de dépistage. Lorsqu'une personne est malade, le test est positif dans $95\%$ des cas. Lorsqu'une personne n'est pas malade, le test est positif dans $2\%$ des cas (faux positifs).

On choisit une personne au hasard. On note $M$ l'événement « la personne est malade » et $T$ l'événement « le test est positif ».

1. Donner les valeurs de $P(M)$, $P_M(T)$ et $P_{\overline{M}}(T)$.

2. Calculer la probabilité $P(T)$ que le test soit positif.

3. Une personne a un test positif. Calculer la probabilité qu'elle soit réellement malade. Arrondir au millième et commenter.

4. Les événements $M$ et $T$ sont-ils indépendants ? Justifier par le calcul.