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Loi binomiale et probabilités conditionnelles combinées

Difficile Inspiré BAC France
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Exercice inspiré d'un BAC France
Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Énoncé

Une usine produit des composants électroniques. Chaque composant est défectueux avec la probabilité , indépendamment des autres. On prélève un lot de composants. On note la variable aléatoire égale au nombre de composants défectueux dans le lot.

1. Justifier que suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

2. Calculer et . Interpréter .

3. Calculer la probabilité qu'aucun composant ne soit défectueux. Arrondir au millième.

4. Calculer la probabilité qu'il y ait au moins deux composants défectueux. Arrondir au millième.

5. Le lot est déclaré « accepté » s'il contient au plus un composant défectueux. Sachant qu'un lot a été accepté, calculer la probabilité qu'il ne contienne aucun composant défectueux. Arrondir au millième.

Indices

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1 Indice 1
Identifie la repetition de $n=20$ epreuves de Bernoulli independantes de parametre $p$.
2 Indice 2
Utilise $E(X)=np$, $V(X)=np(1-p)$ et $P(X=k)=\\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$.
3 Indice 3
Pour la question 5, applique $P_A(D_0) = \\frac{P(X=0)}{P(X \\leqslant 1)}$ en remarquant l'inclusion des evenements.

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Léo peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

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