Répartition par clubs et probabilités conditionnelles

Énoncé

Une école compte $300$ élèves, chacun inscrit à un et un seul club : $60$ au club Cybersécurité (dont $30\%$ de filles), $90$ au club Sport (dont $60\%$ de filles) et $150$ au club Environnement (dont $72\%$ de filles). On choisit un élève au hasard et on considère les événements $F$ « l'élève est une fille », $G$ « l'élève est un garçon », $C_{sc}$, $C_{sp}$, $C_{env}$ d'appartenance respective aux trois clubs.

1. Vérifier que $P(C_{sc})=\frac{1}{5}$, puis calculer $P(C_{sp})$ et $P(C_{env})$.
2. Montrer que $P(F)=\frac{3}{5}$.
3. En déduire $P(G)$.
4. Sachant que l'élève choisi est un garçon, montrer que la probabilité qu'il appartienne au club Environnement est $\frac{7}{20}$.