Modèle de croissance — équation différentielle

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Énoncé

Une population de bactéries croît selon le modèle $N^{'} (t) = 0, 3 N (t)$ où $N (t)$ est le nombre de bactéries au temps $t$ (en heures). À $t = 0$ , $N (0) = 1000$ .

1. Donner l'expression de $N (t)$ .

2. Calculer $N (5)$ (arrondi à l'unité).

3. Au bout de combien de temps la population double-t-elle ?

Indices

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1 Indice 1

Une equation de la forme $N'(t)=kN(t)$ a pour solutions des fonctions exponentielles $N(t)=Ce^{kt}$.

2 Indice 2

Utilise la condition initiale $N(0)=1000$ pour determiner la constante $C$, puis remplace $t$ par $5$ pour calculer $N(5)$.

3 Indice 3

Pour trouver le temps de doublement, pose l'equation $N(t)=2\\times N(0)$ et resous-la en utilisant le logarithme neperien.

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Léo peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

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Charge d'un condensateur : vérifier une solution puis la retrouver Retour au chapitre Primitive par parties — $\int xe^x\,dx$

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