Charge d'un condensateur : vérifier une solution puis la retrouver

Lors de la charge d'un condensateur à travers une résistance, la tension $u(t)$ (en volts) aux bornes du condensateur, en fonction du temps $t\ge 0$ (en secondes), est solution de l'équation différentielle $$u^{\prime }=-2u+12,$$ avec la condition initiale $u(0)=0$.

1. On considère la fonction $g$ définie sur $[0;+\infty [$ par $$g(t)=6-6e^{-2t}.$$ Vérifier, par le calcul, que $g$ est une solution de l'équation différentielle $u^{\prime }=-2u+12$ et qu'elle satisfait la condition initiale.

2. Démontrer que $g$ est l'unique solution du problème en résolvant l'équation différentielle, c'est-à-dire en déterminant la forme générale des solutions puis en utilisant la condition initiale.

3. Étudier le sens de variation de $g$ sur $[0;+\infty [$, puis déterminer la limite de $g$ en $+\infty$. Interpréter cette limite.

4. Déterminer l'instant $t_1$ (valeur exacte puis valeur arrondie au centième de seconde) à partir duquel la tension atteint $90\%$ de sa valeur limite.