Refroidissement d'un café : équation $y'=ay+b$

On modélise le refroidissement d'un café placé dans une pièce à $20°\mathrm{C}$. On note $T(t)$ la température (en $°\mathrm{C}$) du café à l'instant $t$ (en minutes). D'après la loi de refroidissement de Newton, la fonction $T$ est solution de l'équation différentielle $$T^{\prime }=-0,1(T-20),$$ avec la condition initiale $T(0)=80$.

1. Montrer que cette équation peut s'écrire sous la forme $T^{\prime }=aT+b$ et préciser les valeurs de $a$ et $b$.

2. Donner la forme générale des solutions de cette équation différentielle.

3. Déterminer la solution $T$ vérifiant la condition initiale $T(0)=80$.

4. Calculer la température du café au bout de $10$ minutes (valeur arrondie au dixième de degré). Vers quelle température tend le café lorsque $t$ devient très grand ?