Équation $y'=ay+b$, solution affine particulière et primitive

On étudie l'équation différentielle $$(E):y^{\prime }=3y-6.$$

1. Déterminer la fonction constante $h$ solution de $(E)$.

2. On pose, pour une fonction $y$ dérivable sur $\mathbb{R}$, $z=y-h$ (où $h$ est la fonction trouvée au 1.). Montrer que $y$ est solution de $(E)$ si et seulement si $z$ est solution de l'équation $(E_0):z^{\prime }=3z$. En déduire l'ensemble des solutions de $(E)$.

3. Déterminer la solution $f$ de $(E)$ vérifiant $f(0)=5$.

4. Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=f(x)$, avec $f$ trouvée au 3. Déterminer la primitive $G$ de $g$ qui s'annule en $0$, c'est-à-dire telle que $G(0)=0$.